現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む80

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271: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/10(金) 22:20:49.70 ID:jmw8DMZb

閑話休題。
さて時枝が記事の中での定義では戦略に用いられる関数が可測とは限らないというのはまぁ間違いない。
しかしまだ "絶対に可測関数になり得ない" と示せたわけではない。
時枝記事の関数の取り方は各類Cから代表元r(C)を選択する際の任意性分だけ自由度がある。
この関数は選択公理からその存在が保証されるものでしかないから直接的にそこから構成した時枝の戦略関数が可測かどうかは判定できない。
そこで時枝戦略をもう少し詳しく検証する。
改めて>>235。
時枝の与えた戦略関数はDの選択として例えば
D:=max{d(y),d(z)}+1
t:=r(C(x))[D]
をとればよいというもの。
この確率変数が求める条件を満たす理由が
P(t=x[D])
≧P(t=x[D]|d(x)≦D)P(d(x)≦D)
≧1×2/3
という式変形により保証されるというもの。
よって結局確率変数d(x)などが満たしていなければならない条件とは
(1) P(d(x)>d(y),d(z))≦1/3。
(2) P(∀i≧D x[i]=r(C(x))[i] | d(x)≦D)=1
である。
この２つの条件が満たされない限り時枝の議論は成立しない。
ところがこの(2)の条件は確率論の公理の要請に反してしまう。
何故ならば(2)を認めるならば任意のkに対して
P(∀i≧k x[i]=y[i] | d(x)≦k ∧ d(y)≦k)=1
が満たされなければならないが、一方で
P(∀i≧k x[i]=y[i] | d(x)≦k ∧ d(y)≦k)P(d(x)≦l∧d(y)≦k)
= P(∀i≧k x[i]=y[i] ∧ d(x)≦k ∧ d(y)≦k)
≦ P(∀i≧k x[i]=y[i])
=0
となってしまいP(d(x)≦k∧d(y)≦k)は任意の定数kに対して0になる事が要請されてしまう。
つまりこの二つの条件を満たす確率変数は絶対に取る事ができない、すなわち時枝記事の定義の方法がまずいのではなく、そもそも時枝戦略を構成する関数はその中核である条件(1),(2)を要請してしまうと可測関数にはなり得ない事がわかる。

というわけで時枝記事を数学的に正当化する手段は少なくとも確率論の中にはない。
確率論の技術以外に時枝記事を正当化する方法がある可能性はもちろん否定しません。
あるならどうぞ提出して下さいというところですかね。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271

358: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/11(土) 13:35:44.93 ID:mOtG56FL

>>271 補足
＞(2) P(∀i≧D x[i]=r(C(x))[i] | d(x)≦D)=1
＞ところがこの(2)の条件は確率論の公理の要請に反してしまう。

・まあ、”この(2)の条件”は、下記wikipwdiaの「（正規性）：P(Ω) = 1.」のことだろう
・”正規性”は、時枝記事の「ヴィタリのルベーグ非可測集合」（>>53）の”非可測”とは意味が違う
・時枝氏は、「非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う」と誤魔化しているから
　「（正規性）：P(Ω) = 1.」の方から攻めたのは、正解と思う

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96
確率論
(抜粋)
目次
1 歴史
1.2 公理的確率論

公理的確率論
現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの『確率論の基礎概念』（1933年）[4]に始まる公理的確率論である。
この確率論では「確率」が直接的に何を意味しているのかという問題は取り扱わず、「確率」が満たすべき最低限の性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。
この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。公理的確率論の必要性に関しては確率空間の項を参照。

基礎概念の数学的定義
現代確率論における基礎概念たちは測度論を基盤として次のように厳密に定義される。

確率空間
・P を可測空間  (Ω , F) 上の確率測度とする。すなわち、写像  P: F→ [0,1] であって、以下の性質を持つものとする：
１．（完全加法性）
　略
２．（正規性）：P(Ω) = 1.
・このときの三つ組  (Ω,F,P) を確率空間 (probability space) と呼び、可測集合  A ∈  F を事象 (event) と呼ぶ。

確率変数
確率空間  (Ω,F,P)上の可測関数を確率変数 (random variable) と呼ぶ。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/358

595: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/13(月) 10:02:42.02 ID:vKumeiVN

>>594
つづき
４．この視点からは、[a, b]^3は零集合。
　つまり、上記3項の3次式 a0+a1x+a2x^2+a3x^3の集合から、ランダムに式を取り出したとき
　a3＝0 つまり、2次式 a0+a1x+a2x^2 の集合は、零集合であるから、2次式の確率0。
５．同様に、n次式の集合から、ランダムに式を取り出したとき
　n-1次式の集合は、零集合であるから、n-1次式の確率0。
６．同じ論法で、多項式環から、有限次の式の組合わせ d1>d2>d3 を考えることは、それは 零集合の話だということ
７．勿論、これは厳密な定式化ではない。
　ルベーグ測度は、「n-次元ユークリッド空間 Rn」でしか定義できない。
　時枝のような、Rn n→∞ である多項式環の集合は、ルベーグ測度には乗らない（係数も区間 [a, b]ではなく、実数Rですし）
８．そこで、数学の厳密な定式化は、ID:QNR5W2Z7 氏が >>271 で行って、「時枝は確率論で扱えない」という証明をしました
以上
QED （＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
ルベーグ測度
(抜粋)
例
・二次元の集合 A が、一次元区間 [a, b] と [c, d] の 直積集合（つまり辺が軸に平行な長方形）であれば、A の二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 (b - a)(d - c) に等しい。
性質
n-次元ユークリッド空間 Rn の n-次元ルベーグ測度 λn あるいは簡単に λ は次のような性質を持つ。
1.A を一次元区間の直積： I1 × I2 × ? × In とする。このとき A はルベーグ可測で λ(A) = |I1|・|I2|?|In| である。ただしここで、|J| は区間 J の長さを意味している。
8.λ(A) = 0 となるルベーグ可測集合 A (これを零集合という) について、A の部分集合はすべて零集合である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/595

841: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/16(木) 07:48:30.50 ID:12GEEnl3

>>830 補足

ここは、初学者もいるかも知れないので、補足説明しておく

１．時枝記事（>>37 >>50-）の数列は、当然固定されている
　だが、それは現代数学の確率変数の射程内です
　確率変数の「固定」などという、トンデモ概念とは無関係
２．「どんな実数を入れるかはまったく自由」なので、
　なにか確率現象、コイントスとかサイコロとかを使っても良い
　そのときに、確率99/100と異なる結果になれば、
　時枝記事の解法との矛盾であり、反例になる
３．確率論で使われるiid(独立同分布)の確率変数Xi（可算無限族）を使えば
　話は簡単で、各Xiは、コイントスなら確率1/2、サイコロなら確率1/6になり
　この段階で、時枝記事の反例構成は終わっている
４．では、なぜ如何にも当たるような確率99/100に見えるのか？
　それを解明したのが、ジムの数学徒（>>694）さんの書いた証明>>271で
　(引用開始)
　結局確率変数d(x)などが満たしていなければならない条件とは
　(1) P(d(x)>d(y),d(z))≦1/3。
　2) P(∀i≧D x[i]=r(C(x))[i] | d(x)≦D)=1
　である。
　この２つの条件が満たされない限り時枝の議論は成立しない。
　ところがこの(2)の条件は確率論の公理の要請に反してしまう。
　(引用終り)
　ということ
５．これを、https://www.youtube.com/watch?v=JwtOopzF4AA >>779
【高校数学】　数B−１０１　確率分布と確率変数? 2016/03/09 とある男が授業をしてみた
　に倣って解説してみると
　d(x)（以下dxと略記する）の確率分布を考える
　dx：1, 2, ・・・n ・・・
　Ｐ：p1,p2,・・・pn・・・
　となる。ここで、p1,p2,・・・pn・・・などは、
　確率に直す前の場合の数です。確率は、総和Σpnで割る必要がある
　ところが、Σpn→∞ となって発散してしまう
　∵pnが減衰しないから。減衰しない無限和は発散します
　これが、上記4項で、(2)の条件 確率に対して”=1”が成立たない分り易い説明です

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/841

885: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/17(金) 08:05:48.74 ID:ahk+jOr6

>>881
(引用開始)
>>47
>多項式環は冪級数環の中で部分環ではあってもイデアルじゃないからな。
この発言で
「なんだこの馬鹿、イデアル全然関係ねえじゃん」
と思ったよ
ここで、◆e.a0E5TtKEのなりすましだと確信した
渾身の演技でバレるとはつくづく馬鹿な奴だｗ
(引用終り)

おサルは、>>871に反論を書いたけど、「ジム＝◆e.a0E5TtKEは工学部卒」が、いまや これが唯一の救いかｗ
”すまし”か否か、厳密な証明も反証も難しいが、判断は見ている皆さんに任せる

１．「多項式環は冪級数環の中で部分環ではあってもイデアルじゃない」というフレーズは、おれには浮かばない
２．ジムの数学徒（>>694）氏は、>>271の証明に行く前に、いろいろ迷いながら書いている
　それをどう読むか、判断は見ている皆さんに任せる（素直に読むか、凝った芝居だと思うか）
３．おれは、>>234で「本格的やるなら、PDFなどにして、アップロード頼む（＾＾」と言った
　彼は、それに従わなかったんだ
４．多分、数学板には、慣れていないんだろうね。数学板のレベル感が掴めていない感じ
　>>286で、「しかしこのスレの常連達は全然数式つかって議論しないんだな」なんてね
　これも、素直に読むか、凝った芝居だと思うか、判断は見ている皆さんに任せる

（参考(抜粋)）
>>224 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/01/10(金) 11:45:16.73 ID:jmw8DMZb [1/12]
なんかよくわからん？
ルールなり戦略なりを変えて確率論でないようにしたという事ではないの？
ともかくよくわからんけど普通に読めば99/100って数字は前後の文章も鑑みて確率のこと言ってるとしか読めないし、この数字が出てきてる以上確率論の話になると思うけど。
確率論で当てるのではなく、なんか別に当てる戦略があると言う話ではないの？
まぁ正確には "確率論の話だとして正当化できない部分を探せ" になるだろうけど。
数学科で確率論勉強した人間にはまぁできるだろうけど、他学科の人には無理だろうな。
物理の研究者の人とかなら数学科の院生顔負けの人がいたりするらしいのでそういう人なら行けるだろうけど。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/885

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