現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む80

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24: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/01/04(土) 23:48:07.13 ID:MNiodNk0

>>23
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
定義
体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは
総和の記号 ?
を使えば、同じ多項式は
p=p_mX^m+p_m-1X^m-1+・・・ +p_1X+p_0=Σk=0〜m p_kX^k
と簡潔な形に書くことができる。この総和の範囲はよく省略されて、 p=Σk p_kX^k のように書くこともある。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。

過去スレ20 時枝再録 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/2-7
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.

私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/24

29: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/01/05(日) 09:20:34.97 ID:dWKXmW0r

>>27
いいんじゃね？

>>21-25で言いたいことは
１．時枝の可算無限数列 は、それを係数とする形式的冪級数として捉えることができる
２．シッポの同値類で、同じ同値類に属する形式的冪級数FpとFp'の差を取って、
　多項式 p'=Fp-Fp' で、p'∈R[X] （多項式環）で、n0-1次多項式 ができる
３．Fpを同値類の代表とする
　時枝のいう決定番号dは、d=n0です

（参考）
スレ20 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/3
3 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:51:43.66 ID:suG/dCz5 [3/23]
(抜粋)
各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)

４．このように考えると
　決定番号dの大小比較は、2つの形式的冪級数（代表の級数と問題の級数と）の差の対抗式pの次数n0に直して考えることができ
　非常に考え役成るのです

５．私は、一つの同値類には、固有のシッポが存在すると考えています。同値類内の形式的冪級数たちは、その固有のシッポを共有する
　証明はしません。時枝では得に使いませんから。証明など、横道にそれるだけ
　でも、一般に同値類には、そういう”不変量”みたいなのが、あることが多いことだけを指摘しておきます（下記）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
(抜粋)
不変量
〜 が X 上の同値関係で P(x) が，x 〜 y であるときにはいつでも，P(y) が真ならば P(x) が真であるような，X の元の性質であるとき，性質 P は 〜 の不変量，あるいは関係 〜 のもとで well-defined であるといわれる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/29

163: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/07(火) 21:13:49.75 ID:b2sufDWR

>>161
どうも。スレ主です。

１．形式的冪級数は、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。（下記ご参照）
２．しかし、特殊ケースで、「代入」が意味を持つ
３．例えば、
　　形式的冪級数 Σn=0〜∞ anX^n=a0+a1X+a2X^2+・・・を、十進小数にしてみよう
４．X＝1/10を代入し、係数an には0から9までの整数を入れる
　　例えば、a0=3, a1=1, a2=4, a3=1, a4=5, a5=9・・・
５．それは 3+ 1/10+ 4/10^2+ 1/10^3+ 5/10^4+ 9/10^5・・・
　　であって、3.14159・・・と円周率πを表わすことができる
６．この例において、多項式なら、あるanより後の係数 例えば、n=3から後を0と考えることができる
　　a0=3, a1=1, a2=4, a3=0, a4=0, a5=0・・・
　　である
７．これは、多項式p(X)＝a0+a1X+a2X^2 を表わす
　　X=1/10を代入して、p(1/10)＝3+1/10+4/10^2＝3.14となる
８．繰返すが、下記にあるように
　　多項式は、無限の項を持つ形式的冪級数の特殊なものと捉えることができる
　　即ち、”つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零である” 形式的冪級数と考えれば良いのだ
９．そうすれば、”多項式環 ⊂ 形式的冪級数環 ”と理解することができるのだ
１０．なお、多項式”環”として、環を強調していることには意味があって、
　　多項式自身は有限ｎ次の式ではあるけれども
　　”環”であるから、ｍ次式とｎ次式との積はｍｎ次式となり、それは”環”要素の「多項式の次数に上限が無い」ことを意味する
　　つまり、「多項式の次数に上限が無い」ことを強調するために、多項式”環”として強調しているのだった

以上

(>>23より)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
(抜粋)
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/163

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