現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む80

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176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/08(水) 12:15:31.15 ID:1QCooAdl

>>175 追加

IUTその4に下記説明ある
が、圏論で筋通した方が良さそう？

P72
Example 3.2. Categories. The notions of a [small] category and an isomorphism class of [covariant] functors between two given [small] categories yield an
example of a species. That is to say, at a set-theoretic level, one may think of a
[small] category as, for instance, a set of arrows, together with a set of composition
relations, that satisfies certain properties; one may think of a [covariant] functor
between [small] categories as the set given by the graph of the map on arrows determined by the functor [which satisfies certain properties]; one may think of an
isomorphism class of functors as a collection of such graphs, i.e., the graphs determined by the functors in the isomorphism class, which satisfies certain properties.
Then one has “dictionaries”
0-species ←→ the notion of a category
1-species ←→ the notion of an isomorphism class of functors
at the level of notions and
a 0-specimen ←→ a particular [small] category
a 1-specimen ←→ a particular isomorphism class of functors
at the level of specific mathematical objects in a specific ZFC-model. Moreover, one
verifies easily that species-isomorphisms between 0-species correspond to isomorphism classes of equivalences of categories in the usual sense.

Remark 3.2.1. Note that in the case of Example 3.2, one could also define a
notion of “2-species”, “2-specimens”, etc., via the notion of an “isomorphism of
functors”, and then take the 1-species under consideration to be the notion of a
functor [i.e., not an isomorphism class of functors]. Indeed, more generally, one
could define a notion of “n-species” for arbitrary integers n ? 1. Since, however,
this approach would only serve to add an unnecessary level of complexity to the
theory, we choose here to take the approach of working with “functors considered up to isomorphism”.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/176

187: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/09(木) 00:03:36.69 ID:vBuB/FcU

>>176
望月先生が、IUTその4の”species”で、何を言わんとしているのかなー？
下記の「圏論の基礎付け」みたいな、言い訳なのかな〜？（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%9C%8F
集合の圏
(抜粋)
圏論の基礎付け
ツェルメロ?フレンケル集合論（英語版） (ZF) において、集合全ての集まりは集合でない（これは基礎の公理から従う）。集合でない集まりのことを真の類と呼ぶが、真の類は集合を扱うようには扱えず、特にそれら真の類は（集合あるいは真の類の何れの意味でも）集まりに属するものと書けない。
これは問題である、というのもこのような設定の下では集合の圏を直接的に定式化することができないことを意味するからである。

そのような問題を解決する一つの方法は、正しく真の類を扱うことのできる体系（例えばNBG集合論（英語版））の中で議論することである。この設定において、集合から構成される圏は小さいといい、集合の圏 Set のように真の類を成すような圏は大きいと言う。

別な解決法としてはグロタンディエック宇宙の存在を仮定することが挙げられる。厳密さをさておけば、グロタンディエック宇宙とはそれ自身が ZF(C) のモデルとなるような集合をいう（例えば、ある集合が一つの宇宙に属するならば、その任意の元も同じ宇宙に属し、あるいはその冪集合もまた同じ宇宙に属する）。
グロタンディエック宇宙の存在性は（空集合の存在および遺伝的有限集合全体の成す集合 Vω の存在を除いて）通常の ZF の公理系からは導かれない。
すなわちグロタンディエック宇宙の存在は追加の独立な公理であって、おおまかには強到達不能基数と同値である。
この追加の公理を仮定するならば、集合の圏 Set の対象は特定の宇宙に属するものだけに制限して考えることができるようになる（注意すべきは、このモデル内に「集合全ての成す集合」は存在しないが、宇宙 U の元として「内部集合」を考えるならば、内部集合すべての成す類 U はきちんと意味を成すことである）。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/187

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