現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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676: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/26(木) 20:36:50.35 ID:+Ol1TdQp

>>674

数学基礎論と消えたパラドックス/Ｈ. フリードマンの定理ｗ （＾＾；
”ペアノの算術の可算な超準モデルは、自らと同型な接頭部を持つ．
標準モデルはたった１つしかないが、
超準モデルは可算のものに限っても非可算無限個存在する．”ｗｗ
（参考）
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_07
Sendai Logic Homepage
仙台ロジック倶楽部ＯＬＤの関係資料ページを復旧したものです．
文章は田中一之先生によるものです．（旧ページ製作はNBZ先輩）
■ 読み物系
□数学基礎論と消えたパラドックス（『数学セミナー』1993年8月号より）
パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
(抜粋)
■ Ｈ. フリードマンの定理

言葉の説明を後回しにして、定理を述べる．

ペアノの算術の可算な超準モデルは、自らと同型な接頭部を持つ．

和積演算を伴った非負整数の集合をペアノの算術の“標準モデル”といい、
それと同型でない数学的構造でペアノの公理を満たすものを“超準モデル”という．

標準モデルはたった１つしかないが、
超準モデルは可算のものに限っても非可算無限個存在する．

超準モデルもペアノの公理を満たしているから、
その上に大小関係や和積演算が定義されている．

モデルの要素を大きさの順に並べて、
あるところで大きい方と小さい方に分け、小さい方を“接頭部”と呼ぶ．

どんな超準モデルも、
標準モデルと同型な接頭部を持つことが簡単に示せる．

そして、どんな超準モデルも
自分の縮小コピーを接頭部として持ついうのがフリードマンの結果である．

これは、自分と同じものは自分の中で造れないという第二不完全性（＋完全性定理）と矛盾するようだが、そうではない．

なぜなら、接頭部の切り口が自分では見つけられない（定義できない）からである．

この定理の証明がまた実に巧妙で面白い．
厳密な議論を紹介するスペースはないが、
以下に述べるアイデアからその卓抜さに共感戴ければ幸いである．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/676

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