現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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175: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/01(水) 12:50:16.66 ID:G5rtMfGn

>>169 追加
(引用開始)
私はあなたのいうおサルさんではありませんが、私もあなたのいうΩはZFCに反すると思ってます。
もちろん私は私なりに数学を懸命に勉強してきたつもりではありますが、間違いをすることもあるので絶対にないとは断言しませんが、
やはりあなたのいうΩは正則性の公理に反しています。
(引用終り)

ここ、初学者も見ているだろうから（＾＾
下記をば
「正則性公理
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 」

とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない？
特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。

定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀ A(A≠ Φ → ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。

・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である  x∋x_1∋ x_2∋ ... は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/175

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/01(水) 13:11:59.71 ID:G5rtMfGn

>>175 追加
(抜粋)
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 」
とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない？
特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね
(引用終り)

まず
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
　0:=Φ ={}
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}
・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
[3]^ (von Neumann 1923)
(引用終り)

さて、ここで
0 :=Φ
1 := suc(0) = {0} = {Φ}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}（同上）

というように
ノイマン構成の集合に対応して
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成されるのです

フォン・ノイマン宇宙に存在する、超限回繰り返しよるω＝Nに対しては
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作、それは”超限回”の操作に属するだろうが
それを認めれば、ノイマン構成の集合からZermelo構成の集合が導かれるのです（＾＾；
（勿論、極限として理解する方が分り易いのですが）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/176

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