現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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18: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/21(土) 22:12:49.24 ID:AVt64yFu

>>11
おサルは想像力なさすぎ
高層ビルで、ｎ階のビルがある

ヒルベルトのホテル同様に、無限階のビルも考えられる
時枝の無限の箱も考えられる
無限の箱を入れ子にして無限多重も考えられる

同じように、集合の｛｝の無限多重も考えられるさ
絵に描けない？　それがどうした？ 無限なんて、正確に図示はできんよ
図示できないから、存在しない？ それはおサルの数学であって、ヒトの数学ではないな

ヒルベルトの無限ホテル、嫁め！（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。
無限ホテルが「満室である」としよう。この場合でも次のようにして新たな客を泊めることができる。
客室数は無限とはいえ 1, 2, 3, … と番号を付けられる。客が1人来たら、1号室にいた客を2号室へ、2号室の客を3号室へ、3号室の客を4号室へ、…、n 号室の客を n + 1 号室へ、…と順番に移す。客室は無限にあるのだから誰もあぶれることはない。
新たな客は1号室に泊めればよい。新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。

さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。

現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/18

33: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/22(日) 08:06:52.76 ID:jNutOcAm

>>24
>Ωが次の性質を持つ限りZFCと両立することはできません。
>・Fを
>x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x
>によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。
>・Ωは有限Zermelo ordinal numberではない。

（前スレ>>961より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
　suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
<Zermelo構成>（前スレ>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
(引用終り)

なので、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も
∈-数列
0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω
（"→ω"の意味は、ωに向けてずっと続くってことね）
（なお、ωは、超限順序数で、いわゆる”有限”ではない）

で、「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω」は、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も全く同じ
だから、この<Zermelo構成>を否定することはできません
（∵<Zermelo構成>を否定すると、<ノイマン構成>も同様に否定されるから）

但し、
<ノイマン構成>においては、ω＝N（自然数の集合）なので
n∈ω（＝N）は、可
というか
<ノイマン構成>なら、任意のm<nで、m∈n成立
（∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全てを要素からなる集合だから（前スレ966））

一方、<Zermelo構成>においては、もともと、任意のm<nで、m∈n不成立
（∵<Zermelo構成>では、後者関数の定義が、異なるため）
だから、もともと、”n not∈ω（=x1=Ωかな）”なのです（nは、任意の自然数）
これは、後者関数の定義の問題なのです
（なので、<Zermelo構成>もZFC内で成立します）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/33

63: １３２人目の素数さん [sage] 2019/12/25(水) 12:08:40.77 ID:xYwdBxRF

>>58
>では位相空間はなにに設定するのですか？
>近傍族はなんですか？

ほいよ（＾＾
（>>35より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
(引用終り)

"順序位相（英語版）"
より、下記
まあ、確かに、 (a,∞)とか”∞”が定義されていないと、
循環論法になるけど、
”∞”が先に別の仕方で定義されていれば、これで良いだろ

https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology
Order topology
(抜粋)
In mathematics, an order topology is a certain topology that can be defined on any totally ordered set. It is a natural generalization of the topology of the real numbers to arbitrary totally ordered sets.
If X is a totally ordered set, the order topology on X is generated by the subbase of "open rays"
(a,∞)={x ｜ a<x}}
(-∞,b)={x ｜ x<b}}(
for all a, b in X. Provided X has at least two elements, this is equivalent to saying that the open intervals
(a,b)={x ｜ a<x<b}}
together with the above rays form a base for the order topology. The open sets in X are the sets that are a union of (possibly infinitely many) such open intervals and rays.
A topological space X is called orderable if there exists a total order on its elements such that the order topology induced by that order and the given topology on X coincide. The order topology makes X into a completely normal Hausdorff space.
The standard topologies on R, Q, Z, and N are the order topologies.

Contents
1 Induced order topology
2 An example of a subspace of a linearly ordered space whose topology is not an order topology
3 Left and right order topologies
4 Ordinal space
5 Topology and ordinals
5.1 Ordinals as topological spaces

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/63

152: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/01(水) 09:07:16.72 ID:G5rtMfGn

>>116
ここにもどる、正月ひまなのでｗ（＾＾

(引用開始)
おサル
問題をわざと、論点そらししているな
いま問題にしていることは
後者関数suc(a)で
ｎ→∞の極限
すなわち 極限 lim ｎ→∞ suc(a) が正則性公理に反する
というのがおサルの主張
そんなことはないというのが、
オレだよおれｗ（＾＾；
(引用終り)

いま分かっていることを整理しよう
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。

ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:

x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。

存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。
ここで、次のように定義する。
・0:=Φ={}
・N:= 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分
・suc := 後者関数のNへの制限
この集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。

任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/152

175: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/01(水) 12:50:16.66 ID:G5rtMfGn

>>169 追加
(引用開始)
私はあなたのいうおサルさんではありませんが、私もあなたのいうΩはZFCに反すると思ってます。
もちろん私は私なりに数学を懸命に勉強してきたつもりではありますが、間違いをすることもあるので絶対にないとは断言しませんが、
やはりあなたのいうΩは正則性の公理に反しています。
(引用終り)

ここ、初学者も見ているだろうから（＾＾
下記をば
「正則性公理
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 」

とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない？
特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。

定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀ A(A≠ Φ → ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。

・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である  x∋x_1∋ x_2∋ ... は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/175

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/01(水) 13:11:59.71 ID:G5rtMfGn

>>175 追加
(抜粋)
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 」
とあるから、「正則性の公理に反しています」は、ムリゲーじゃない？
特に、”超限回繰り返して”って書かれているからね
(引用終り)

まず
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
　0:=Φ ={}
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}
・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
[3]^ (von Neumann 1923)
(引用終り)

さて、ここで
0 :=Φ
1 := suc(0) = {0} = {Φ}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}（同上）

というように
ノイマン構成の集合に対応して
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成されるのです

フォン・ノイマン宇宙に存在する、超限回繰り返しよるω＝Nに対しては
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作、それは”超限回”の操作に属するだろうが
それを認めれば、ノイマン構成の集合からZermelo構成の集合が導かれるのです（＾＾；
（勿論、極限として理解する方が分り易いのですが）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/176

183: １３２人目の素数さん [] 2020/01/01(水) 16:56:53.42 ID:E03EXCHH

>>176
◆e.a0E5TtKE 2020年四番目のトンデモ発言
（これが初トンデモ発言同様一番ヒドイ間違い）
>0 :=Φ
>1 := suc(0) = {0} = {Φ}
>2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
>3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}（同上）

>ノイマン構成の集合に対応して
>→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
>という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成される

>フォン・ノイマン宇宙に存在する、超限回繰り返しよるω＝Nに対しては
>→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
>という集合操作、それは”超限回”の操作に属するだろうが
>それを認めれば、ノイマン構成の集合からZermelo構成の集合が導かれる

ノイマン構成の自然数nの「一番右のΦ」はどの要素の中にある？
自然数n-1の要素の中だよな？

◆e.a0E5TtKEの言い分では
「ωの一番右の要素中の一番右のΦを残すように
　不要の{}とΦを除く操作を実施すれば
　Zermeloのシングルトンωが生成される」
となるが、実は致命的な欠陥がある

ωには「一番右の要素」が存在しない！
（つまりωは後続順序数ではない！）

したがって◆e.a0E5TtKEのナイーブな直感による
「アルゴリズム」は、ノイマンのωの中の
ありもしない「一番右の要素」を探しにいったまま
永遠に戻ってこない

>（勿論、極限として理解する方が分り易いのですが）

正しく極限をとればシングルトンにならないことは明らか

Zermelo構成の順序数がシングルトンになるのは
後続順序数であるときそのときに限る

極限順序数の場合にはZermelo構成の順序数は
無限集合にならざるを得ない
(「自分未満の任意の数への∈降下列が存在する」
　という性質を満たすとして）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/183

201: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/02(木) 09:15:23.37 ID:YLjNnjPy

>>197
すでに>>152-155に書いたように
１）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　ペアノの公理
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・
ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)

２）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
（Zermelo構成）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。

３）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として
　ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと

４）こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない

なお、まとめると
Zermeloの後者関数 「0 := {}, suc(a) := {a} 」
の
順序位相（英語版）に関する極限点として
ωが定義される
それだけのこと

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/201

255: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/03(金) 10:49:20.99 ID:ivt0JCXh

>>253
おつです

岡潔（下記）
制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った

これにならって、Neumann流、Zermelo流に拘らずに、もっと一般に後者関数を考えるべき
そうすれば、自然に後者関数のn→∞の極限の概念に到達するだろう

その後で、個別の後者関数に応じて、極限によって得られる集合がどのようなものかを考えるべし（＾＾；
（下記、ペアノの公理もご参照）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E7%A5%90
広中平祐
(抜粋)
特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。

（>>152より）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/255

305: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/22(土) 12:18:43.21 ID:0iFmeQIA

Case2)：平面 R^2 上の半径1の円周Cで囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の円周Cで囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) は存在して、(x/z)^2＋(y/z)^2＜1 を満たす。
また、仮定から n≧3 だから x/z＜1、y/z＜1 から、(x/z)^n+(y/z)^n＜(x/z)^2＋(y/z)^2。
よって、(x/z)^n+(y/z)^n＜1 から x^n+y^n＜z^n となって、成り立つと仮定した等式 x^n+y^n＝z^n に反し矛盾する。
Case3)：平面 R^2 上の半径1の円周Cで囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
このとき、確かに平面 R^2 上の円周Cで囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 を満たす。
また、3つの正整数x、y、zについて、1≦x＜z かつ 1≦y＜z だから、x^2＋y^2＜2z^2 から (x/z)^2＋(y/z)^2＜2 を得る。
故に、或る 1＜s＜√2 なる実数sが存在して、(x/z)^2＋(y/z)^2＝s^2 であり、( x/(sz) )^2＋( y/(sz) )^2＝1 となる。
平面 R^2 上において、3点 O(0,0)、B(x/(sz),y/(sz))、A(x/z,y/z) はその順に一直線上に並んでいるから、
θの定義から cos(θ)＝x/(sz) かつ sin(θ)＝y/(sz) かつ sz＝√(x^2＋y^2) であり、s・cos(θ)＝x/z、s・sin(θ)＝y/z。
仮定から n≧3 であり、s^n・cos^n(θ)＝(x/z)^n、s^n・sin^n(θ)＝(y/z)^n。
成り立つと仮定した等式から、(x/z)^n＋(x/z)^n＝1 だから、s^n・(cos^n(θ)＋sin^n(θ))＝s^n、
故に、X＝cos^n(θ)＋sin^n(θ) とすれば、s^n・X＝s^n となる。
仮定から n≧3 であり 0＜θ＜π だから、Xの定義から X＝cos^n(θ)＋sin^n(θ)＜cos^2(θ)＋sin^2(θ)＝1 であり、s^n・X＜s^n となる。
しかし、これは s^n・X＝s^n に反し、矛盾する。
Case1)、Case2)、Case3) から、起こり得る何れの場合も矛盾が生じる。
この矛盾は、3以上の整数n、及び3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
背理法を適用すれば、どんな3以上の整数nと、どんな3つの正整数 x、y、z を取ろうとも、x^n+y^n＝z^n とはなり得ない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/305

364: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/01(日) 11:35:09.43 ID:siseuOIi

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/53
(抜粋)
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
(引用終り)

ここも、時枝先生は間違っている！！
選択公理とは、（下記）集合の族（すなわち、集合の集合）があって、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというもの
集合の族が、
・有限のとき、有限集合の族に対する選択公理
・可算（無限）のとき、可算集合の族に対する選択公理
・集合の族に制限がないとき、連続無限以上に適用できるフルパワー選択公理
となる

時枝記事で、２列で考える
本当に必要な代表は、問題の２列の同値類の代表であって、最低２つの代表で足りる
だから、数列のシッポが分かって、問題の同値類が２つに絞り込めれば、たった2つの代表で、時枝の議論は完結する（他の代表は使わない）
だから、たった2つの代表だから、”非可測になる”なんて無関係で、話が完全に”すべっている”よね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
(抜粋)
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。

7 選択公理の変種
7.1 可算選択公理
7.2 有限集合の族に対する選択公理

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/364

365: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/01(日) 11:42:51.03 ID:siseuOIi

>>364 補足
この話は、過去スレで、ジムの数学徒氏が書いているが、集合の可測非可測ではなく、
「時枝の戦略関数が可測かどうか」と、「確率論の公理の要請」を満たせるかどうか？
が、本質なんだ。で、彼は下記で、”満たせない”ということを証明しているのです（＾＾；

（参考）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271
(抜粋)
271 2020/01/10 ID:jmw8DMZb [9/12]
さて時枝が記事の中での定義では戦略に用いられる関数が可測とは限らないというのはまぁ間違いない。
そこで時枝戦略をもう少し詳しく検証する。
改めて>>235。
時枝の与えた戦略関数はDの選択として例えば
D:=max{d(y),d(z)}+1
t:=r(C(x))[D]
をとればよいというもの。
この確率変数が求める条件を満たす理由が
P(t=x[D])
≧P(t=x[D]|d(x)≦D)P(d(x)≦D)
≧1×2/3
という式変形により保証されるというもの。
よって結局確率変数d(x)などが満たしていなければならない条件とは
(1) P(d(x)>d(y),d(z))≦1/3。
(2) P(∀i≧D x[i]=r(C(x))[i] | d(x)≦D)=1
である。
この２つの条件が満たされない限り時枝の議論は成立しない。
ところがこの(2)の条件は確率論の公理の要請に反してしまう。
何故ならば(2)を認めるならば任意のkに対して
P(∀i≧k x[i]=y[i] | d(x)≦k ∧ d(y)≦k)=1
が満たされなければならないが、一方で
P(∀i≧k x[i]=y[i] | d(x)≦k ∧ d(y)≦k)P(d(x)≦l∧d(y)≦k)
= P(∀i≧k x[i]=y[i] ∧ d(x)≦k ∧ d(y)≦k)
≦ P(∀i≧k x[i]=y[i])
=0
となってしまいP(d(x)≦k∧d(y)≦k)は任意の定数kに対して0になる事が要請されてしまう。
つまりこの二つの条件を満たす確率変数は絶対に取る事ができない、すなわち時枝記事の定義の方法がまずいのではなく、そもそも時枝戦略を構成する関数はその中核である条件(1),(2)を要請してしまうと可測関数にはなり得ない事がわかる。
というわけで時枝記事を数学的に正当化する手段は少なくとも確率論の中にはない。
確率論の技術以外に時枝記事を正当化する方法がある可能性はもちろん否定しません。
あるならどうぞ提出して下さいというところですかね。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/365

370: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/01(日) 23:18:18.57 ID:siseuOIi

>>365-366 補足
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/50-51
(抜粋)
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)

１．可算無限長の実数列の集合 R^N のしっぽの同値類分類で、1つの同値類Eの集合の濃度は非可算であることは、自明だ
２．だから、同値類E中に、1つの決定番号に対し、その決定番号を持つ 非可算の数列 s,s',・・たちが含まれる
２．さて、決定番号ｎとすると、ｎから先のしっぽは 代表ｒと一致するが、先頭からｎ-1までは自由で、ｎ-1次元空間の１点(s1,s2,・・,sn-1)を選ぶことに相当する
３．従って、問題の数列ｓと代表数列ｒから決まる決定番号n=dは、裾が発散する超ヘビーな（裾の超重い）分布になるので、決定番号d1,d2の大小の確率計算はできない
４．このことを、確率論の公理の要請の点から証明したのが、ジムの数学徒氏の証明（ >>365-366）です

（参考）
http://www.orsj.or.jp/queue/contents/14tu_masuyama.pdf
第8回「学生・初学者のための待ち行列チュートリアル」 2014年6月21日
Big Queues ? 裾の重い分布と希少事象確率 ?
増山 博之
（京都大学 大学院情報学研究科）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/370

445: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/12(木) 07:49:25.37 ID:Fux/6iYZ

それを数学的に説明したのが、下記のDR Pruss氏の”conglomerability assumption”による説明です（＾＾；

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/877

分かり易く例えで説明する
・ランダムを直感的に考えて、決定番号ｄが属する自然数の集合Nから、ランダムに任意の元dを選ぶことを考えよう
・さて、我々が日常生活し考えている100兆くらいの数は、自然数N全体のほんの一部にすぎない
　いわゆる天文学的に大きな数も また同じで、所詮有限にすぎない
・コンピュータ内で数を扱うとして、まともに固定小数点の数として扱えば、桁あふれを起こして、コンピュータメモリ内に収まらない
　天文学では、指数を使ったりするけれども、>>876のように極限を考えると、それでも 極限の途中で、指数でさえ コンピュータメモリ内に収まらない
・それが、>>876のように、無限大超自然数 ω を考えれば、はっきり見えるってわけです
・戻ると、”自然数の集合Nから、ランダムに任意の元dを選ぶ”という ランダムネスの定義が、本当は出来ずに、手品のタネになっている
・つまり、ある可算無限数列X＝（x1,x2,・・・）に対して、問題の数列Xを知らずに、同値類の代表r＝(r1,r2,・・・)を選び、決定番号dが決まる
　決定番号dが、如何にも我々の知っている有限の数の範囲になるが如くの錯覚をさせている（本当はここ極限です）
　それが、手品のタネになっている
　有限の世界なら、d1とd2の大小比較も明確だ
・しかし、無限大の世界では、d1とd2の大小比較は簡単に言えない
・それを、DR Pruss氏は、mathoverflowで述べているのです

（参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏

By a conglomerability assumption, we could then conclude that P(X<=Y)=0, which would be absurd as the same reasoning would also show that P(Y<=X)=0.

http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636
Symmetry and the Brown-Freiling Refutation of the Continuum Hypothesis
by Paul Bartha
Symmetry 2011, 3(3), 636-652;

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/445

450: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/03/12(木) 11:19:50.54 ID:FZfOcjPG

>>444
> ４）時枝を１列で考えます。可算無限長L（＝∞）の列に対し、代表番号dは有限
> ５）そういう有限dを使った数当ては、出来ないってことです

下記引用の広中−岡のエピソードの教訓は、
　数学は 不必要な条件を落として、抽象化して純化した方が、
　見通しが良いということ。数学はそれができる

これを時枝で考えてみると、要するに、時枝の数当ての原理は
「長さLの数列があって、
　問題の数列X：X1,X2,・・,Xi,Xi+1・・ において、
　同値類の数列Xの属する同値類の代表列rをうまく選んで
　r：r1,r2,・・,Xi,Xi+1・・(つまり Xi,Xi+1・・以降が一致)
　と出来れば、数当て成功。
　しっぽ　Xi+1・・を開けて、決定番号d＝iとなれば、ri=Xiですから、問題の数列XのXiが分かる」
という理屈です

なので、これをもっと抽象化すれば
　決定番号d(=i) ＜i＋mになるように、十分大きな数 i+m を選んで、しっぽの Xi+m・・を見ると
　属する同値類が分かり、代表列r：r1,r2,・・,Xi,Xi+1・・が分かり、ri=Xiが分かるという原理です

ですが、問題はそのような、十分大きな数i+mを選ぶことはできないということ
（∵ L＝∞ だから （＾＾； ）
これ、>>444-445 『お釈迦様の手の上の悟空』であり、数学的には DR Pruss氏の”conglomerability assumption”による説明です
よって、時枝の数当て手法は、不成立です
QED （＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E7%A5%90
広中平祐

特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/450

465: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/03/12(木) 18:04:25.81 ID:FZfOcjPG

>>445 補足
DR Pruss氏は、mathoverflowの回答で、下記を述べている
即ち、「the function is measurable.」ならば 良いが、そうでないときは、ダメだという
実際、コイントス（＝coin flips）で、Ω={0,1}^Nなのに、実数の数列の同値類と代表なら、”guess π”とかなって
それって、”Intuitively this seems a really dumb strategy. ”じゃんと、DR Pruss氏は いう （＾＾；

（参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
Here's an amusing thing that may help see how measurability enters into these things.
Consider a single sequence of infinitely many independent fair coin flips.
Our state space is Ω={0,1}^N, corresponding to an infinite sequence (Xi)^∞ i=0 of i.i.d.r.v.s with P(Xi=1)=P(Xi=0)=1/2.

That's a fine argument assuming the function is measurable.
If so, then guess according to the representative.
If not, then guess π. (Yes, I realize that π not∈{0,1}.)
Intuitively this seems a really dumb strategy.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/465

466: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/03/12(木) 18:34:26.23 ID:FZfOcjPG

>>465 補足の補足

１）時枝の数列の しっぽ 同値類と 代表による数当てで、DR Pruss氏の指摘
２）本来、コイントス（＝coin flips）で、Ω={0,1}^N なら、{0,1}の数列の 同値類と 代表なら、まだスジは通っている
　だが、「実数Rの数列の 同値類と 代表 って、なんだそれは〜っ！」 てことですよねｗ(゜ロ゜;
３）さらに さらに、時枝の数当て論法は、複素数の数列でも同じことができるでしょｗ
　数列 Z：Z1,Z2,・・Zi,・・ で、しっぽ同値類と、自然数の代表番号d を使って、全く同じ論法で、代表での複素数 Zi で当てられるはず
４）ところで、この話は、上記のコイントス {0,1}と完全に類似で、代表から 複素数 Zi ＝Xi +Yi√-1 が 数当ての候補として上がるけど
　実数R ⊂ 複素数Z であるから、実数列 X：X1,X2,・・,Xi,Xi+1・・ でも当たりますよね〜ｗ
５）しかし、上記のコイントスと同じで、複素数の代表で Ziが出てきて、Zi ＝Xi +Yi√-1で、Yi≠0って なんか変でしょ
６）同じ論法は、４元数の数列でも可だし、８元数の数列でも可だし・・・ って、それって なんか変でしょ？
７）結局、DR Pruss氏は、mathoverflowの回答で指摘しているように
　「the function is measurable.」ならば 良いが、そうでないときは、この手法 ダメってことじゃないですかね？ｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0
確率変数
(抜粋)
概念の拡張
統計学における基本として、確率変数がとる値は実数であり、従って期待値や分散その他の値を計算することができる。しかし、実数以外の要素を値としてとる確率変数も考えられる。値として取る要素としては、ブール変数、カテゴリカル変数（英語版）、複素数ベクトル、ベクトル、行列、数列、樹形図、コンパクト集合、図形、多様体、関数等が考えられる。

もう1つの拡張は確率過程、すなわち時間や空間などで添字付けられた添字付き確率変数である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/466

476: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/12(木) 21:09:55.54 ID:Fux/6iYZ

>>466 さらにさらに補足

十六元数とか、あるよね
あるいは、多元数とか（下記）

で、例えば 十六元数は、「その全体はしばしば S で表される」らしい（下記）
時枝にならい 十六元数の可算無限長の数列を作ります
時枝理論を適用して、十六元数列 S：S1,S2,・・Si,・・ で、数列のしっぽの同値類を、実数Rと同様に作り、代表からSiを確率1-εで的中できま〜す！
（時枝理論が正しければねぇ〜ｗｗ（＾＾；　）

で、実数R ⊂ S十六元数 ですから、箱に入れる数を 実数Rに限定しても 良いですよね
さて、DR Pruss氏が指摘するのと同様に、十六元数列の代表ですから、前述の複素数からのアナロジーでも分かるように、
S の基底を成す16個の単位十六元数 e0 = 1, e1, e2, e3, …, e15で、実数以外の”e1, e2, e3, …, e15”たちの成分が０でない十六元数が出てくる
出題が実数列なのに、答えの候補に、十六元数が出てくるとは、これ如何にぃ〜！ ｗｗ（＾＾；
それって、”Intuitively this seems a really dumb strategy. ”じゃないですか〜、とDR Pruss氏は いうでしょうね！！（>>465） （＾＾；

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E5%85%83%E6%95%B0
十六元数
(抜粋)
抽象代数学における十六元数（じゅうろくげんすう、sedenion）は、
全体として実数体 R 上16次元の（双線型な乗法を持つベクトル空間という意味での）非結合的分配多元環を成す代数的な対象で、
その全体はしばしば S で表される。
八元数にケーリー＝ディクソンの構成法を使って得られる対合的二次代数である。
「十六元数」という用語は、他の十六次元代数構造、例えば四元数の複製二つのテンソル積や実数体上の四次正方行列環などに対しても用いられ、Smith (1995) で調べられている。
任意の十六元数は、R-ベクトル空間としての S の基底を成す16個の単位十六元数 e0 = 1, e1, e2, e3, …, e15 の実係数線型結合になっている。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
(抜粋)
数学における多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/476

483: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/13(金) 08:03:17.52 ID:nz3HyF4S

>>476 補足
(引用開始)
で、例えば 十六元数は、「その全体はしばしば S で表される」らしい（下記）
時枝にならい 十六元数の可算無限長の数列を作ります
時枝理論を適用して、十六元数列 S：S1,S2,・・Si,・・ で、数列のしっぽの同値類を、実数Rと同様に作り、代表からSiを確率1-εで的中できま〜す！
（時枝理論が正しければねぇ〜ｗｗ（＾＾；　）
(引用終り)

１）可算長の十六元数列 S：S1,S2,・・Si,・・ で、数列のしっぽの同値類を、実数Rの列と同様に作ります
２）そうすると、数列の しっぽの部分のみ実数という同値類が考えられます
　 S'：S1,S2,・・Si,・・,rj,rj+1,・・ とします　（rj,rj+1などは実数。S1,S2などは実数ではない十六元数です）
３）この同値類の代表として 上記S'を選べば、しっぽの部分が実数でも、代表を使う数当ての候補 Sdに 十六元数が出てくる可能性ありです
４）そうすると、明らかに、十六元数の数列を使うことは、おかしいと分かる
　つまり、出題が実数列なら、それを十六元数の数列として扱うことは、不適切です。実数列の同値類を使うべき
５）同じことが、>>466のコイントス {0,1}を、実数Rの数列として扱うことについても言える
　つまり、DR Pruss氏が、mathoverflowの回答で指摘しているように
　（>>465より）
　コイントス（＝coin flips）で、Ω={0,1}^Nなのに、実数の数列の同値類と代表なら、”guess π”とかなって
　それって、”Intuitively this seems a really dumb strategy. ”じゃんということ（下記）
６）結局、実数の「数列のしっぽの同値類と代表と決定番号から、ある箱Xiの数を確率1-εで的中できる」理論なんて時枝記事は、おかしいと分かる
QED
（＾＾；

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E5%85%AD%E5%85%83%E6%95%B0
十六元数

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
If not, then guess π. (Yes, I realize that π not∈{0,1}.)
Intuitively this seems a really dumb strategy.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/483

525: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/14(土) 19:43:31.94 ID:r2jRdi7g

>>523-524
>なんで？

「なんで？」という問いは、”チコちゃんに叱られる!”でしばしば出現する
また、”夏休み子ども科学電話相談”では、しばしば 子供の素朴な質問に 専門家が回答する

さて、「なんで？」という問いに答えるのは、結構難しいことがあるのです
相手の知識レベルが低い場合、”専門的な説明が理解されない”ことになるから

「なんで？」と聞いた貴方のレベルが分からない。もし、おサルなら、私には「分からせる」自信がない
だが、一応、できる限り説明をしてみようと思う

＜時枝不成立の説明＞
１．時枝記事については、上記の>>358辺りを 見て欲しい
２．時枝の数当て原理：
　１）問題の可算無限の数列ｓがあって、数列のしっぽの同値類を決めて（それをEとする）、その代表列ｒとの比較によって、決定番号dが決まる
　　（決定番号の定義などは、上記時枝記事をご参照）
　２）いま、d+1以降のしっぽ側の箱を開ければ、同値類Eが分かり、決定番号がdと仮定すると、問題の数列sのd番目sdと代表列ｒのd番目rdで、決定番号の定義よりsd＝rdであり 箱を開けずに 中の数を的中できるとする
　３）問題は、どうやって、決定番号dを推測し d+1以降のしっぽ側の箱を開けてることができるのか？
　　（もし、決定番号dより先頭に近いところ 例えば d-1 から開ければ、同値類Eが分かっても、決定番号dの箱は開封さてしまっているから、数当ては失敗する
　４）そこを、時枝記事では、複数列の決定番号d1,d2などの比較ではぐらかす （実際には、できないのに）
３．時枝の数当ての問題：
　１）既に、十六元数列で例示したように、数列のしっぽの同値類、代表、決定番号は、箱に入れる ”数の体系”に依存しない （多元数などなんでもあり）
　　（つまり、包含関係で、大は小を兼ねるで、{0,1}^Nの数当てにR~Nが使えるという。これを一般化すれば、十六元数列S^Nで、実数列R^Nでも{0,1}^Nでも、同様に確率1-εで的中できるという）
　２）ところで、十六元数をさらに多元数に置き換えることも可能。100元数でもなんでも可。大きなｎ元数で、ベルヌーイ列{0,1}^Nが当たるという。これは おかしい ！！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/525

526: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/14(土) 19:44:04.63 ID:r2jRdi7g

>>525
つづき

４．大学レベルの確率論における反例の存在：
　１）独立同分布 iidは、時枝の反例である
　２）即ち、独立同分布 iidであるから、全ての iidなる確率変数族 X1,X2,・・Xi,・・ で、数当て確率は 同じ値 p になる。確率99/100には、決してならないのです
　３）また、任意のXiは、他から独立（無関係）であるから、他の箱の数を知っても、Xiの数当て確率は不変。それは、時枝理論とは合わないのです

以上が、時枝理論不成立の説明です（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%B3%E3%81%A1%E3%82%83%E3%82%93%E3%81%AB%E5%8F%B1%E3%82%89%E3%82%8C%E3%82%8B!
チコちゃんに叱られる!
概要
「好奇心旺盛でなんでも知っている5歳」という設定の着ぐるみの少女・チコちゃんが、岡村隆史（ナインティナイン）をはじめとする大人の解答者たちに、素朴かつ当たり前過ぎてかえって答えられないような疑問を投げ掛け、解答者が答えに詰まると、CGによって突然真っ赤になり巨大化した顔で、「ボーっと生きてんじゃねーよ!」[注釈 2]の決めぜりふと共に叱って答えを明かし

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%8F%E4%BC%91%E3%81%BF%E5%AD%90%E3%81%A9%E3%82%82%E7%A7%91%E5%AD%A6%E9%9B%BB%E8%A9%B1%E7%9B%B8%E8%AB%87
夏休み子ども科学電話相談

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
(抜粋)
定義
Kantor & Solodovnikov (1989) によれば、多元数あるいは超複素数は、実数体 R 上有限次元の単位的分配多元環（結合的である必要はない）の元として定義されている。n-次元の各多元数（n-元数）x は、実数係数 a0, …, an?1 を用いて基底 1, i1, …, in?1 に対する一次結合
x=a0*1+a1*i1+・・・ +an-1*in-1
の形に書き表される。可能ならば、各基点元 ik に対して、その平方 ik^2 は ?1, 0, 1 のうちの何れかから選ぶのが慣習である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/526

553: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/20(金) 11:34:24.47 ID:+qJdNaLm

＜転載＞
0.99999……は１ではない　その７
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1584625377/79-80
(抜粋)
79 2020/03/20(金)  ID:WMaa4Quj
conglomerabilityの定義を理解した上でPrussの論文を読み直せば、
自説がPrussによって真正面から否定されてると理解できます

80 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/03/20(金) ID:+qJdNaLm
おサルさん、DR Pruss氏は、mathoverflowの彼の回答の前段で、conglomerabilityを出しているが
（下記引用ご参照）
最後は、”the function is measurable”が不成立だから、”dumb（ダメダメ） strategy”と言っているよ
（下記の通り）
QED
（＾＾；

（参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
By a conglomerability assumption, we could then conclude that P(X<=Y)=0, which would be absurd as the same reasoning would also show that P(Y<=X)=0.

In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.

That's a fine argument assuming the function is measurable. But what if it's not?

So there is an extension P′ of P such that P′-almost surely the dumb strategy works. Just let P′ be an extension on which the set of representatives has measure 1 and note that the dumb strategy works on the set of representatives.

http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636
Symmetry and the Brown-Freiling Refutation of the Continuum Hypothesis
by Paul Bartha
Symmetry 2011, 3(3), 636-652;

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/553

586: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 09:53:17.78 ID:TMbOZsnt

>>582
おサル、それ誤読だよ
”misunderstanding”は、下記引用の3)のとこでしょ
でも、面白いね、文献の”philosophical reason”の「 independently」の
”orthodox (Kolmogorovian) probability theory”と異なる見方（哲学だけれど）

（>>553より参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
show 6 more comments
1)Our choice of index i is made randomly, but for this we only need the uniform distribution on {0,…,n}. It is made independently of the opponent's choice. ? Denis Dec 17 '13 at 15:21
2)I was assuming that "independently" has the meaning it does in probability theory (P(AB)=P(A)P(B) and generalizations for σ-fields). But that does require a probabilistic description of the opponent's choice.
Of course, one could mean "independently" here in some non-mathematical causal sense. (And there may be philosophical reason for doing this: fitelson.org/doi.pdf )
Still, mixing the probabilistic with nonprobabilistic concepts might lead to some difficulties, though. ? Alexander Pruss Dec 18 '13 at 15:21
3)ah ok I see where the misunderstanding comes from, it's true that "independently" is ambiguous, because only one random variable is involved here.
But I think it still has a mathematical meaning in the sense "it does not depend on the opponent's choice", namely we have ∃x∀y where x is our strategy and y is our opponent's strategy (i.e. the sequence),
and we still win this game because we can choose devise a (probabilistic) strategy that works on all sequences. ? Denis Dec 19 '13 at 11:54

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/586

593: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 11:42:53.49 ID:TMbOZsnt

>>450 補足
＜時枝理論の複数列の比較による確率計算を潰す試みｗ(゜ロ゜；　＞
広中−岡のエピソードの教訓により、さらに時枝を抽象化して（余計な要素を省いて） 考えてみよう

いま、問題の出題された数列
可算無限数列X：X1,X2,・・Xd,Xd+1,・・
に対し
無関係な人が数列を作ったとする
可算無限数列Y：Y1,Y2,・・Yd',Yd'+1,・・

ここに、d,d'はそれぞれの列の代表番号である
もし、d＜d'ならば、列Yの箱を開けて、d'を知り
列Xにおいて、Xd'+1から先のしっぽの箱を開けて
列Xの代表（rXとする）を知り、"rXd=Xd"と推測が的中することになる

ところで、数学的に疑問なのは
１．無関係な人が数列を作った列Yは、数学的に無関係でしょ？（数学を考えずとも無関係）
２．要するに、列Yとか無関係に、あるd'が取れて、d＜d'ならば、"rXd=Xd"と推測が的中するという時枝理論で
３．そして、２列だから、確率 P（d＜d'）＝1/2 というけれど、２列関係ないでしょ？！ｗ（＾＾；

（参考：時枝記事関連箇所）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/52
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(s^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/593

642: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/25(水) 07:52:46.51 ID:wzyKzdmN

>>641
良い質問ですね〜（＾＾

(引用開始)
質問
箱の中身を0〜9の10個の数に制限する
このとき、無限列は10進無限小数だと考えることができる
.000…の同値類の代表元を.000…とする
このとき、決定番号∞となる小数を一つ上げよ
(引用終り)

良い質問ですね〜
＜答え＞
・具体的に、例を挙げることはできない
　∵実数R自身が、Qの完備化（例えば コーシー列による定義）からなる存在だから
・しかし、.000…の同値類の中に、決定番号∞となる小数（同値類の元）が存在すると考えるべきである
　例：0に収束するコーシー列、これをC:c1,c2,・・ として、 C≠.000… (＊)なるコーシー列Cを考えることができる
　 （ (＊) この≠の意味は、0に収束するが、Cは .000… と異なるコーシー列であることを示す）
　∵コーシー列とは、そのようなものだから。そして、それは、具体的な小数として書き下すことはできない存在なのだ

(引用開始)
例えば
.000…は決定番号１
.900…は決定番号２
.990…は決定番号３
…
としてこの数列の極限
.999…が決定番号∞
なのか？
(引用終り)
＜答え＞
Yes

(引用開始)
もし、そうだとして、.999…が.000…と同値だとする証明はあるのか？
(引用終り)
＜答え＞
・まず、修正：「.999…00…が.000…00…と同値（つまり、 .999…00… 〜 .000…00…）」だな（＾＾；
・この証明はあるが、厳密には ”実数Rとは？、 Qの完備化である！”に、遡ってしなければならない
・もし、大学数学科レベルの人に対してなら、「コーシー列を考えれば自明」の一言で証明は終わる！
QED

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
(抜粋)
コーシー列を用いた構成
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
(抜粋)
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/642

702: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/03/27(金) 10:53:34.19 ID:JV2qk9Qn

>>685 補足
(引用開始)
結局さ
大学教程の確率論を学んだ高い立場に立たないと
時枝理論のおかしさに気付かないし
いつまでも、”はまって”抜け出せない
(引用終り)

補足：
１）数当てと言えば、確率ですね（下記 "chiebukuro.yahoo"）
２）いま、一つ箱があり、サイコロの目を入れた。確率 1/6
３）複数の箱がある。iid(独立同分布)を仮定する
　下記のiidの説明 通り、箱一つと同じ計算になる
　サイコロの目を入れたなら、確率 1/6
４）可算無限個の箱がある。iid(独立同分布)を仮定する
　（ここは、大学の確率論の教程を学べば分かる）
　下記の通り、箱一つと同じ計算になる
　サイコロの目を入れたなら、確率 1/6
　どの箱も、例外無し！
５）ところが、時枝理論では、ある箱の数当てが 確率1/6ではなく、1-εにできるという
　大学の確率論の教程を学べば、「iidだからそれはおかしい」と即座に分かる！！
QED
（＾＾；

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12157505717
mas********さん2016/3/2720:48:25 Yahoo
サイコロの目が出る確率は1/6ですが
サイコロの目を当てる確率はいくつですか？
私はランダムにサイコロの目を選ぶとその2倍当たりにくく1/12だと思うのですがどうなんですか？

回答1?1件/1件中
umi********さん 2016/3/2720:55:03
1/6 ですよ。
半分は国語の問題ですねw
「特定の」サイコロの目が出る確率は 1/6。
つまり 1の目が出て欲しいとき、それが出る確率は6つの面のどれかが出るわけですから、もちろん1/6です。

https://www.practmath.com/iid/
実用的な数学を
2019年6月20日 投稿者: TAKAN
独立同分布である i.i.d. IID
(抜粋)
同じ分布のデータは互いに不干渉だよ
これは「確率変数を別々に扱えるよ」という『仮定』です。
これが仮定されていると、非常に計算がしやすくなります。
相関を考えなくて良いので、共分散などを使う必要がありません。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83
独立同分布
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/702

723: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/03/27(金) 15:35:35.76 ID:JV2qk9Qn

＜再録＞
>>685 補足
(引用開始)
大学教程の確率論を学んだ高い立場に立たないと
時枝理論のおかしさに気付かないし
いつまでも、”はまって”抜け出せない
(引用終り)

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12157505717
mas********さん2016/3/2720:48:25 Yahoo
サイコロの目が出る確率は1/6ですが
サイコロの目を当てる確率はいくつですか？
回答
umi********さん 2016/3/2720:55:03
1/6 ですよ。
半分は国語の問題ですねw

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83
独立同分布

>>702 補足
これが理解できないんだ
まあ、難しくないけど
「可算無限個の箱→可算無限の確率変数族」
という読み替えができるかどうか？

ここが大学の確率論の教程だけれど
あとは、「iid(独立同分布)を仮定する」なんて
確率論の頻出で、いろはのい、初歩の初歩です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/723

741: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/28(土) 11:16:30.13 ID:MRwZqC/h

>>737
だれか知らないが、コーシー列を誤読しているよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/コーシー列
> 収束するかどうか調べるためには、その前に極限値がわからなければ
> ならないのであるが

正確には、下記だ。つまり、
”収束の定義に基づいて点列 (xn) の収束性を判定する場合、極限値 x を推定した上で |xn - x| を評価する必要がある。つまりこの方法で収束するかどうか調べるためには、その前に極限値がわからなければならないのであるが、コーシーの方法ならば極限値の推定は不要であるという利点がある。”
です。上記とは、真逆の意味だよ。分かりますか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
(抜粋)
実数におけるコーシー列
|xn - xm| を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる。また本質的に同じことだが、級数の収束性を和を仮定せずに判定することもできる。
コーシーの収束判定基準という。
収束の定義に基づいて点列 (xn) の収束性を判定する場合、極限値 x を推定した上で |xn - x| を評価する必要がある。つまりこの方法で収束するかどうか調べるためには、その前に極限値がわからなければならないのであるが、コーシーの方法ならば極限値の推定は不要であるという利点がある。

コーシー列の収束性と空間の完備性
距離空間 (X,d) は、その任意のコーシー列が X 上に極限を持つとき完備であるといい、完備である距離空間を完備距離空間、または単に完備空間という。
“実数の連続性”は、実数全体の成す距離空間 R が完備であることを意味している。 すでに述べたように、Rk や Ck などもすべて完備である。 一方、有理数全体の成す集合 Q やユークリッド空間内の有理点全体 Qkなどを完備でない距離空間の例としてあげることができる。

実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(引用終り)

>1つの箱にだけサイコロの目を入れるのと全ての箱にサイコロの目を入れるの
>では同値類は異なるよ

いわんとしていることが、正確には理解できないが
空の箱を許容するという意味なら、{実数＋Φ（空）} の可算無限列を作れば良い

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/741

749: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/28(土) 12:43:45.86 ID:MRwZqC/h

(>>593より)
＜時枝理論の複数列の比較による確率計算を潰す試みｗ(゜ロ゜；　＞
により、時枝の複数列の比較は、数学的には本質ではない ことは、すでに示した

さて、時枝の手法は、ある方法で、大きな数d'を与えて
問題の数列の決定番号dに対し d＜d' とできれば
列Xにおいて、Xd'+1から先のしっぽの箱を開けて
列Xの代表（rXとする）を知り、"rXd=Xd"と推測が的中できるというもの

これが成立たないことも、すでに>>593に説明した

さらに、ここを掘り下げてみよう！
１．ある方法で、d'が与えられたとする
２．問題の数列 X：X1,X2,・・Xd',Xd'+1,・・ において
　しっぽの箱 Xd'+1,・・ たちを開けて、列Xの同値類を決める
３．そして 同値類の代表列 rXが分かる
４．このとき、2つの場合がおきる
　１）開けた Xd'+1,・・ たちとの比較で、d'＜dとなってしまっている場合（開けたところまでで、すでに代表列rXの箱の数と不一致がある場合）
　　（実は、こうなる確率が１なのだが*) ）この場合、"rXd=Xd"は無意味だ
　　∵ Xdは、すでに開封された箱だから "rXd=Xd"は無意味
　２）もし、d<=d'+1となっている場合(開けたd'+1までの箱の全部が一致の場合)
　　しかしこの場合でも、d=d'+1の可能性が大なのだ
　　∵ d'の箱の比較で、"rXd'≠Xd'"の可能性大。つまり、任意の2つの実数を比較して、"rXd'＝Xd'"なる確率は0にすぎない
５．結局、時枝の数当て 不成立です！！
QED
（＾＾；

注*)（上記の「実は、こうなる確率が１」の説明）
１．dが自然数N全体を渡るとき、有限d'で分けて、n<=d'なるnは有限だが、d'<n なるnは無限
２．従って、自然数N全体からnをランダムに選ぶと、確率 P(n<=d')＝0
　（もっとも、これは正統な確率計算ではない ∵ 自然数Nの一様分布は、正則分布ではないから）
３．なお、時枝記事では、実は、我々は決定番号dを選ぶことができず、ただ代表列rXを選ぶしことしかできない
　　にも関わらず、決定番号dを選ぶことができるが如く錯覚させていることも、時枝トリックの1つだ
　　（これ実は、けっこう重要なのだ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/749

771: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/29(日) 11:16:59.90 ID:PhmwLbdr

>>749
(引用開始)
２．従って、自然数N全体からnをランダムに選ぶと、確率 P(n<=d')＝0
　（もっとも、これは正統な確率計算ではない ∵ 自然数Nの一様分布は、正則分布ではない
３．なお、時枝記事では、実は、我々は決定番号dを選ぶことができず、ただ代表列rXを選ぶしことしかできない
　　にも関わらず、決定番号dを選ぶことができるが如く錯覚させている
(引用終り)

決定番号dの分布について、補足説明する
１．問題の数列 X：X1,X2,・・,Xd-1,Xd,Xd+1,・・ において
　その同値類の 代表列を rX：r1,r2,・・,rd-1,Xd,Xd+1,・・
　とする(rd-1≠Xd-1とする)
　この場合、しっぽ Xd,Xd+1,・・が一致し、rd-1≠Xd-1だから、時枝の決定番号はdだ
２．いま、箱にq面サイコロを作って、1〜qの整数を入れるとする
　・d=1となる 代表列rXは、1個しかない（全ての数が一致）
　・d=2となる 代表列rXは、q-1個（2番目以降のしっぽの数が一致）
　・d=3となる 代表列rXは、(q-1)q個（3番目以降のしっぽの数が一致）
　・d=4となる 代表列rXは、(q-1)q^2個（4番目以降のしっぽの数が一致）
　・d=mとなる 代表列rXは、(q-1)q^(m-2)個（m番目以降のしっぽの数が一致）
３．もし、qが十分大きいなら、q-1≒qとして、d=mとなる 代表列rXは、q^(m-1)個 と書ける（以下この場合を扱う）
４．ここで、「我々は決定番号dを選ぶことができず、ただ代表列rXを選ぶしことしかできない」を思い出そう
　つまり、ある代表を選んで決定番号が仮に7だったとする
　しかし、8の代表はそのq倍多く、9の代表はそのq^2倍多く・・となる
　dは全ての自然数を渡るが、一様分布ではなく、裾の（指数関数的に)増大する分布になる
５．このように、決定番号dの大小については、正統な確率的な扱いができないことは、大学の確率論を学べば分かる
６．それを、数学的に説明したのが、過去のガロアスレ 確率論の専門家さんと ジムの数学徒さんのレスです（下記）
QED
（＾＾；

（参考）
ガロアスレ 20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/ （512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8A と ID:1JE/S25W ）
ガロアスレ 80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/ （31&271ご参照 ジムの数学徒さん ID:jmw8DMZb）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/771

784: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/29(日) 15:17:54.50 ID:PhmwLbdr

>>772 補足
時枝の話は、可算無限数列を、形式的冪級数（の係数）で
しっぽが一致
　↓
式の次数が高い係数がすべて一致
におきかえると

問題の数列＝1つの形式的冪級数の 形式的冪級数環のしっぽの同値類
と考えることができて 分り易い

例えば下記
(なお、変数をｙとします（Xはすでに使っているため）)
問題の数列 X：X1,X2,X3,・・,Xd,Xd+1・・
　↓
形式的冪級数 FX＝X1+X2y+X3y^2・・ xd-1 y^(d-2)+Xd y^(d-1)+Xd+1 y^d・・

代表列 rX：r1,r2,・・,rd-1,Xd,Xd+1,・・
　↓
形式的冪級数 FrX＝r1+r2y+r3y^2・・rd-1 y^(d-2)+Xd y^(d-1)+Xd+1 y^d・・
と、対応して書き直せる

ここで、2つの式の差 FX-FrX を考えると、係数がd番目Xdから後が一致しているので
FX-FrX＝　・・・+0y^(d-1)+0y^d・・ としっぽの係数 d以降がすべて0になる多項式になる

そして、同値類は、形式的冪級数のしっぽによる 多項式環の話に直せる
つまり、決定番号は、多項式環の1つの式（＝同値類の元）の次数d-1に直せる*)
（*)注：多項式環では、係数が0次の定数項から始まるので、次数との比較で1つ ずれる）

この話は、過去にガロアスレにも書いたが、また 時間があるときに 書きます
形式的冪級数→多項式環→多項式の次数 という流れで考えると
時枝記事の（みせかけ）トリックが、よく分ります

(参考)
http://lupus.is.kochi-u.ac.jp/shiota/
塩田研一 高知大学 理工学部 情報科学教室
http://lupus.is.kochi-u.ac.jp/shiota/misc/index.html
塩田研一覚書帳
http://lupus.is.kochi-u.ac.jp/shiota/misc/field/FieldTheory.html
体   ― 塩田研一覚書帳 ―
p 進体
p 進付値（ふち）
有限次代数体の素イデアル p についても p 進距離を考えることができます。
また体 F 上の一変数関数体 F(x) においては、例えば x が素数の役割を果たして付値が定義でき、
その完備化は形式的べき級数体 F((x)) になります。
Qp の中で |x|p≦1 を満たす元 x を p 進整数と呼び、 p 進整数全ての集合を Zp と表します。
http://lupus.is.kochi-u.ac.jp/shiota/misc/field/FiniteField.html
有限体   ― 塩田研一覚書帳 ―

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/784

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