現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

18: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/21(土) 22:12:49.24 ID:AVt64yFu

>>11
おサルは想像力なさすぎ
高層ビルで、ｎ階のビルがある

ヒルベルトのホテル同様に、無限階のビルも考えられる
時枝の無限の箱も考えられる
無限の箱を入れ子にして無限多重も考えられる

同じように、集合の｛｝の無限多重も考えられるさ
絵に描けない？　それがどうした？ 無限なんて、正確に図示はできんよ
図示できないから、存在しない？ それはおサルの数学であって、ヒトの数学ではないな

ヒルベルトの無限ホテル、嫁め！（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。
無限ホテルが「満室である」としよう。この場合でも次のようにして新たな客を泊めることができる。
客室数は無限とはいえ 1, 2, 3, … と番号を付けられる。客が1人来たら、1号室にいた客を2号室へ、2号室の客を3号室へ、3号室の客を4号室へ、…、n 号室の客を n + 1 号室へ、…と順番に移す。客室は無限にあるのだから誰もあぶれることはない。
新たな客は1号室に泊めればよい。新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。

さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。

現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/18

33: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/22(日) 08:06:52.76 ID:jNutOcAm

>>24
>Ωが次の性質を持つ限りZFCと両立することはできません。
>・Fを
>x∈F⇔∃x1∋x2∋‥‥∋xn, x1=Ω, xn=x
>によって定められる集合とするときFの任意の要素はシングルトンか空集合。
>・Ωは有限Zermelo ordinal numberではない。

（前スレ>>961より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
　suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
<Zermelo構成>（前スレ>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
(引用終り)

なので、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も
∈-数列
0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω
（"→ω"の意味は、ωに向けてずっと続くってことね）
（なお、ωは、超限順序数で、いわゆる”有限”ではない）

で、「0∈1∈2∈3・・・∈n∈・・・→ω」は、<Zermelo構成>も<ノイマン構成>も全く同じ
だから、この<Zermelo構成>を否定することはできません
（∵<Zermelo構成>を否定すると、<ノイマン構成>も同様に否定されるから）

但し、
<ノイマン構成>においては、ω＝N（自然数の集合）なので
n∈ω（＝N）は、可
というか
<ノイマン構成>なら、任意のm<nで、m∈n成立
（∵<ノイマン構成>では、後者関数の定義が、それ以前の全てを要素からなる集合だから（前スレ966））

一方、<Zermelo構成>においては、もともと、任意のm<nで、m∈n不成立
（∵<Zermelo構成>では、後者関数の定義が、異なるため）
だから、もともと、”n not∈ω（=x1=Ωかな）”なのです（nは、任意の自然数）
これは、後者関数の定義の問題なのです
（なので、<Zermelo構成>もZFC内で成立します）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/33

63: １３２人目の素数さん [sage] 2019/12/25(水) 12:08:40.77 ID:xYwdBxRF

>>58
>では位相空間はなにに設定するのですか？
>近傍族はなんですか？

ほいよ（＾＾
（>>35より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
(引用終り)

"順序位相（英語版）"
より、下記
まあ、確かに、 (a,∞)とか”∞”が定義されていないと、
循環論法になるけど、
”∞”が先に別の仕方で定義されていれば、これで良いだろ

https://en.wikipedia.org/wiki/Order_topology
Order topology
(抜粋)
In mathematics, an order topology is a certain topology that can be defined on any totally ordered set. It is a natural generalization of the topology of the real numbers to arbitrary totally ordered sets.
If X is a totally ordered set, the order topology on X is generated by the subbase of "open rays"
(a,∞)={x ｜ a<x}}
(-∞,b)={x ｜ x<b}}(
for all a, b in X. Provided X has at least two elements, this is equivalent to saying that the open intervals
(a,b)={x ｜ a<x<b}}
together with the above rays form a base for the order topology. The open sets in X are the sets that are a union of (possibly infinitely many) such open intervals and rays.
A topological space X is called orderable if there exists a total order on its elements such that the order topology induced by that order and the given topology on X coincide. The order topology makes X into a completely normal Hausdorff space.
The standard topologies on R, Q, Z, and N are the order topologies.

Contents
1 Induced order topology
2 An example of a subspace of a linearly ordered space whose topology is not an order topology
3 Left and right order topologies
4 Ordinal space
5 Topology and ordinals
5.1 Ordinals as topological spaces

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/63

81: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/27(金) 08:26:38.31 ID:DGQc6wD0

メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88
ゲーデルの構成可能集合
クルト・ゲーデルによって導入された、集合論の公理を満たすモデル上で空集合から帰納的に構成していける集合のことである。より正確な定義は後に述べる。
性質
・L は全ての順序数を含む最小の ZFC のモデルである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number#Von_Neumann_definition_of_ordinals
Von Neumann definition of ordinals

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 [1] 特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/81

82: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/27(金) 08:27:29.41 ID:DGQc6wD0

メモ追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙
(抜粋)
構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、英: Universe）とは議論領域のことである。
宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。

通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。)
主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。

物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。

集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。
公理的集合論は元来1908年にエルンスト・ツェルメロによって開発された。ツェルメロ集合論は"通常の"数学を公理化することができるため、カントールによって三十年早く始められたプログラムを達成して、確実に成功した。
しかし、ツェルメロ集合論は公理的集合論および数学基礎論、特にモデル理論における他の研究のさらなる発展にとって不十分であった。劇的な例として、上述の上部構造プロセスの記述はツェルメロ集合論においてそれ自身実行できないことが挙げられる。
最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。
置換公理は、ツェルメロ＝フレンケル集合論を形成するように1922年にツェルメロ集合論に付加された。
この公理集合は今日最も広く受け入れられている。
そのため、通常の数学がSNにおいてなされるのに対し、SNの議論は"通常の"数学を越えてメタ数学の領域となる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/82

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 920 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.026s