[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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269(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:35 ID:EUeYkluT(9/14) AAS
つづき
Dedekind discriminant theorem
Much of the significance of the discriminant lies in the fact that ramified ultrametric places are all places obtained from factorizations in Qp where p divides the discriminant.
This is even true of the polynomial discriminant; however the converse is also true, that if a prime p divides the discriminant, then there is a p-place which ramifies.
For this converse the field discriminant is needed. This is the Dedekind discriminant theorem. In the example above, the discriminant of the number field Q(x) with x^3 - x - 1 = 0 is -23, and as we have seen the 23-adic place ramifies.
The Dedekind discriminant tells us it is the only ultrametric place which does. The other ramified place comes from the absolute value on the complex embedding of F.
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省17
270: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:36 ID:EUeYkluT(10/14) AAS
>>269
つづき
代数的整数論
Q の代数拡大
「ガロア拡大での素イデアルの分解」も参照
代数的整数論での分岐は、ある素イデアルへの素数の繰り返しの分解を意味する。R を代数体 K の整数環とし、P を R の素イデアルとする。各々の K の体の拡大 L に対し、L の中の T の整閉包 S と S のイデアル PS とを考えることができる。PS は素であるかどうか分からないが、[L:K] を有限とすると、素イデアルの積
P1e(1) ? Pke(k)
省3
271: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:36 ID:EUeYkluT(11/14) AAS
>>269
つづき
分岐は、相対判別式（英語版）(relative discriminant)により K にエンコードされ、相対差イデアル（英語版）(relative different)により L にエンコードされる。相対判別式は K の整数環のイデアルであり、P で割りきれることと、P を割る S のイデアル Pi が存在し分岐することをは同値である。
相対差イデアルは L の整数環のイデアルであり、Pi が分岐するとき、S の素イデアル Pi で割り切れる。
分岐指数 e(i) が全て P の標数 p と互いに素であるときを、分岐が順 (tame) と言い、そうでない場合を激 (wild) と言う。この条件はガロア加群の理論に重要である。デデキント整域の有限生成なエタール拡大 B/A が順であることと、トレース Tr: B → A が全射であることとは同値である。
局所体
詳細は「局所体の分岐（英語版）」を参照
省4
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