[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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192(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/25(金)18:51 ID:xcx18NtP(3/7) AAS
>>191
つづき
目次
1 現代的な定式化
2 素イデアル
3 類体論の一般化
4 歴史
省12
193: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/25(金)18:51 ID:xcx18NtP(4/7) AAS
>>192
つづき
幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。
例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。
このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。
この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。
1 の全ての冪根からなる群を
省12
194(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/25(金)18:52 ID:xcx18NtP(5/7) AAS
>>192
つづき
素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。
この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。
つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。
類体論の一般化
省9
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