[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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122(4): 2019/10/22(火)06:15 ID:t2rCNfO0(1/7) AAS
>>117
1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。
2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。
1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
2.,3. は代数の常識。
129(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/22(火)07:51 ID:u309yKT7(5/15) AAS
>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？
参考
省22
138(2): 2019/10/22(火)09:14 ID:t2rCNfO0(4/7) AAS
>>136
「ガロア逆問題」は「Q上」という条件が付いている。
そして、Q上とは限らず、ともかくGをガロア群として持つガロア拡大K/kが存在するか？
という問題だと存在は自明になってしまう。だから問題にされないんですよ。
証明は>>122に書いてある通りです。
152: 2019/10/22(火)11:08 ID:t2rCNfO0(5/7) AAS
証明は>>122で示しましたよ。不備があるなら言って下さい。
補足しますよ。具体例は自分で計算してください。
180: 2019/10/24(木)18:22 ID:VtUUj/v5(1/6) AAS
>>176
わたし（>>122）とID:V4UM6AG2さんは別人ですよ。
>>117に対する回答が>>122です。
この回答に誤りがあるなら言ってください。
（わたしはないと思ってます。
そして何度も言っているように自明・トリヴィアルな話。）
「基礎体は固定されておらず動かしてもいい」
省6
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