現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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837: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/10(日) 10:01:30.82 ID:9ApxZ9nn

>>836
つづき

正20面体を回す
　よく知られているように, 正12面体, 正20面体の(空間の向きを変えない)回転対称性の群 I (Icosahedral group; 正12面体群dodecahedral groupと同型だが一般には正20面体のほうで代表するらしい)は5次の交代群A5と同型になっている. これを理解するにはまず次のように各面に1から5までの数を振る. 括弧は背面の数. 各頂点のまわりに1から5まですべて集まるようになっている.

この展開図を次の2通りの方法で描く.

https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/s/shironetsu/20180210/20180210224136.png
頂点と中心を結ぶ軸まわりに回転させると(12345)の置換.

https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/s/shironetsu/20180210/20180210224148.png
　面心と中心を結ぶ軸回りに回転させると(254)の置換.

I, またはA5全体はこのふたつから生成される.

5次元表現
　Hと呼ばれる表現.
　まず6次対称群への準同型から置換行列によって6次元表現を作る(6次対称群の外部自己同型に関係している).
　正20面体の中心を通る対角線は全部で6本. 正20面体の回転はそれらの置換になるから, ラベリングすれば6次対称群の部分群との同型が得られる.
展開図を再掲. 新たに各頂点に割り当てた色は6つの対角線に対応.

内訳は
(0,±1,±τ,±τ?1)を偶置換で入れ替えたもの合計96個,
(±1,±1,±1,±1)で16個,
(±1,0,0,0)の巡回置換8個
となっている.

これを使って数式処理ソフトによって力任せにA基底を求める.

まとめ
　正20面体群の既約表現を求め, SO(3)の部分群としてWigner D行列による表現を直和分解した.
そこから自明な1次元表現Aの基底への射影演算子によって不変な成分を見つけた.
その過程で数式処理ソフトを用いたが, 手計算できる程度にまで問題を落としたい.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/837

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