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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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827: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/10(日) 09:29:12.68 ID:9ApxZ9nn >>826 つづき 有限体上の特殊射影線形群 PSL(n,p) さて順序が前後したがPSL(n,q)を定義する. 記号Ln(q)で表されることもある. PはProjective, SがSpecial, LがLinear. nは行列のサイズでqは有限体Fq上にあることを意味する. 行列式1の行列全体のなす群SL(n,q)の中心による剰余群がこの群PSL(n,q)である. 一般論に踏み込むことはできないのでここからは専らPSL(2,p)を考える. pは奇素数としておく. この場合話は早くて, P1(Fp)＝〜Fp∪{∞}に対する, 行列式が1の1次分数変換全体のなす群と考えるとよい. たとえばp=7で f:x→(3x+2)/(2x+4) 0→4 1→2 2→1 3→6 4→0 5→∞ 6→3 ∞→5 g:x→(x+1)/(x+2) 0→4 1→3 2→6 3→5 4→2 5→∞ 6→0 ∞→1 置換の巡回記法で表すとそれぞれ f=(04)(12)(36)(5∞) g=(0426)(135∞) になっている. PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/827
828: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/10(日) 09:29:32.43 ID:9ApxZ9nn >>827 つづき ガロアの最期の手紙 ではそれより小さい対称群への埋め込みが存在するか, というと, これこそガロアが死の直前に友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた手紙の中で述べた命題の内容で, p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない (位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.). Galois' last letter http://www.neverendingbooks.org/galois-last-letter 一応この3つ組を調べること, 特に指標表を書くこと(PSL(2,5)は5次交代群なのですでにやったが)を目標として書き始めたのがこの記事. これもまたマッカイ対応のひとつらしい. 保形形式の理論をはじめ, すごい数学がここから広がっているらしいが地道に始める. PSL(2,p)のよいところは簡単な数論で調べられるところ. PSL(2,p)の位数 まずSL(2,p)を数える.F2p?(0,0)の元はp^2?1個. 第1列をこの中から1つ決めると, 第2列はその定数倍ではない(p?1)p個の中から選ばなくてはならず, さらに行列式が1であるためにはその1/(p?1)に限られて結局 |SL(2,p)|=(p?1)p(p+1) pは奇素数と決めたので中心は{I,?I}でPSL(2,p)＝〜SL(2,p)/{I,?I} |PSL(2,p)|=12|SL(2,p)|=(p?1)p(p+1)2 まとめとこれから 奇素数pに対してPSL(2,p)の位数は(p3?p)/2である. 共役類はほとんど±トレースで決まるが±2の場合のみ3つに分裂して合計(p+5)/2個になる. したがって既約表現も(p+5)/2個. 次の記事からPSL(2,7)を調べる. 既約表現は6個で次元は1,3,3,6,7,8. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/828
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