現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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64: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/20(日) 17:32:55.41 ID:f+LcfVi/

>>63

つづき

準備的注意
単拡大の概念は、主に次の二つの点から数学上の興味を集めている。
・単拡大は分類が完了している体拡大である。拡大の生成元が K 上超越的なら無限次拡大で有理関数体に同型（フランス語版）であり、 生成元 α が代数的なら拡大は有限で、α の K 上の最小多項式の根体に同型である。
・原始元の定理はすべての有限次分離拡大が単拡大であることを保証する。代数拡大はそのすべての元の最小多項式が重根をもたないときに分離的という。
有限拡大の分離性のいろいろな同値条件に加えて、代数拡大が分離的であるための十分条件は基礎体が完全体（例えば標数 0 あるいは有限体）であることである。
定義
L を K の体拡大とする。
拡大 L が単 (simple) 拡大であるとは、L のある元 α が存在して、α で生成された L の部分 K 拡大 K(α) が L に等しいことである。
L が単拡大とし g を L の元で L が K(g) に等しいとする。このとき g は L の K 上の生成元 (generating element) と呼ばれる。

http://peng225.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2016-11-26
有限次分離拡大が単拡大となることの具体例を愚直に計算してみる
(抜粋)
体の拡大L/Kが有限次分離拡大であるとき、この拡大は単拡大になることが知られている。私が使っている教科書にもこの定理は載っており、具体例としてQ(2?√,3?√)=Q(2?√+3?√)が取り上げられていた。
しかし、その説明が私にはエレンガント過ぎて、なんともピンとこなかった。
私がとにかく疑問だったのは、一体Q(2?√+3?√)の元の四則演算でどうやって2?√や3?√を生み出せるのか、その具体的な計算手順は何かということだ。
タネが分かった今となっては難しくもなんとも無いが、同じ疑問でハマる人がいないとも限らないので、本稿を書いてみることにした。

手順はとても簡単だ。まず、2?√+3?√∈Q(2?√+3?√)である。これを3乗すると以下のようになる。
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/64

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