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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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62: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/20(日) 17:30:44.54 ID:f+LcfVi/ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83%E5%AE%9A%E7%90%86 原始元定理 (抜粋) 体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。 存在の主張 定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。ガロワの時代から、原始元の役割は分解体をただ1つの元で生成されるものとして表現することだった。そのような元のこの（任意の）選択は Artin の扱いにおいて避けられる[1]。同時に、そのような元の構成の考慮は退く：定理は存在定理 になる。 すると以下のアルティンの定理は古典的な原始元定理に取って代わる。 定理 E⊃＝ Fを有限次体拡大とする。このときある元 α ∈ E に対して E=F(α)であることと E⊃＝ K⊃＝ F なる中間体 K が有限個しか存在しないことは同値である。 すると定理の系はより古風な意味での原始元定理（分離性は通常暗黙に仮定された）である： 系 E⊃＝ F} E⊃＝ F} を有限次分離拡大とする。このときある α ∈ E に対して E=F(α)である。 系は代数体、すなわち有理数体 Q の有限拡大に応用する、なぜならば Q は標数 0 ゆえ任意の拡大が分離的だからである。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/62
63: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/20(日) 17:31:37.57 ID:f+LcfVi/ >>62 つづき 構成的結果 一般に、有限分離拡大 L / K に対するすべての原始元からなる集合は L の真の K-部分空間すなわち中間体の有限の集まりの補集合である。このステートメントは有限体のケースについては何も言っていない。 有限体に対しては体の乗法群（巡回群）の生成元、これは当然原始元である、を見つけるために捧げられた計算理論が存在する。K が無限のときは、鳩ノ巣原理により証明できる。2元で生成された線型部分空間を考えると、c を K の元とする線型結合 γ =α +cβ は有限個しかなく両方の元を含む部分体を生成できないことが証明される。 これはアルティンの結果から古典的な結果がどのように導かれるかを示す方法としてほとんどすぐであり、中間体の個数の言葉での例外的な c の個数が有界であることが得られる（この数はガロワ理論によってアプリオリにそれ自身制限されるものである）。 したがってこのケースにおいて trial-and-error は原始元を見つける実際的な手法となることができる。例を見よ。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7 単拡大 (抜粋) 数学、より正確には代数学において、可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。 単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。 原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/63
68: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/20(日) 17:52:29.06 ID:f+LcfVi/ >>62 メモ ”ガロア理論:単拡大定理の意義” https://qa.itmedia.co.jp/qa7814220.html ガロア理論:単拡大定理の意義 ITmedia 解決済みの質問 投稿日時 - 2012-11-24 (抜粋) ガロア理論で,有理数体を係数体として,その根をx1,x2,...xnとしたとき,これらの根を添加した体Q(x1,x2,...xn)と単拡大定理を使った拡大Q(V(x1,x2,...xn)とはどこが違うのでしょうか.もちろん表現として違うことはわかりますが,この根を変数とするパラメータVが存在することによって,体を扱う上で何が違うのでしょうか.単拡大定理の存在理由が今一つわからないので,教えてください. 質問者が選んだベストアンサー kabaokaba 投稿日時 - 2012-11-25 09:00:26 たぶん，「有限次分離拡大は単拡大」の定理のことだと思うけど， そういうときは，ちょっと保留して 先の議論を眺めるというのがよい方策でしょう． わざわざ偉大なる先人達が「定理」として残しているからには 今は見えなくても何か裏があるものです． ましてやGalois理論ですから，もうよってたかって整理されまくって 基礎的なところはとんでもなくすっきりしてるわけですので ＃私なんかは「Artinの教科書」には感動しましたよ・・線型代数すげーって＜なんか方向違う ＃＃いや。。実際はArtinすげーなんですけどね とはいえ・・・これじゃあなんだから 例えば，記号の定義はなあなあにして Q(x,y)が有限次分離拡大だとして，Q(x,y)=Q(x+y)なんてふうに x+yによる単拡大になったとしましょう． 話が面倒だから・・・xもyもとりあえず二次にしちゃいましょう そうすると Q(x,y)の要素は形式的には 1,x,y,xy の四つで表現できる． Q(x+y)だと x+y だけで表現できる． この二つ・・・同じものだとしたら，どっちが「簡単」に見えますか？ つまり Q(x,y)=Q(x+y)の要素zが z=a+bx+cy+dxy = e+f(x+y) と表した場合ですね，どっちが簡単かです つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/68
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