現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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611: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 14:13:39.44 ID:nN7QsxvT

>>606
おっちゃん、どうも、スレ主です。
モノドロミー行列な

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC%E8%A1%8C%E5%88%97
モノドロミー行列
(抜粋)
数学の特に常微分方程式・複素微分方程式の分野における、モノドロミー行列（モノドロミーぎょうれつ、英: monodromy matrix）とは、ある常微分方程式系のゼロにおいて評価される基本行列の逆行列と、その系が持つ係数の周期において評価される基本行列の積で与えられる行列のことを言う。
フロケ理論における常微分方程式の周期解の解析に用いられる。また、モノドロミー行列が分かれば、与えられた常微分方程式の解が解析接続によってどう変わるかを完全に把握できる[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%82%B1%E7%90%86%E8%AB%96
フロケ理論
(抜粋)
数学のフロケ理論（フロケりろん、英: Floquet theory）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。

{\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,\,}{\dot {x}}=A(t)x,\,
ここで {\displaystyle \displaystyle A(t)}\displaystyle A(t) は区分的連続な周期 {\displaystyle T}T の周期関数である。

フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、Gaston Floquet (1883) によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対する標準形（英語版）を与えるものである。
それはまた、{\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}\displaystyle Q(t+2T)=Q(t) を満たすような座標変換 {\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}\displaystyle y=Q^{{-1}}(t)x を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。

固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/611

612: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 15:01:45.19 ID:nN7QsxvT

>>611

＞固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。

ありましたね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ブロッホの定理

量子力学や物性物理学におけるブロッホの定理（ブロッホのていり、英: Bloch's theorem）とは、ハミルトニアンが空間的な周期性（並進対称性）をもつ場合に、その固有関数が満たす性質を表した定理のこと。1928年に、フェリックス・ブロッホによって導出された。

結晶は基本格子ベクトルだけ並進すると自分自身と重なり合うため、並進対称性を持つ。よって結晶のエネルギーバンドを計算する際にブロッホの定理は重要となる。

目次
1 定理の内容
1.1 ブロッホ関数
2 定理の証明
3 バンド構造との関連性

バンド構造との関連性
バンド構造は、波数を変数としたときに、ある波数を持つ電子がどのようなエネルギー準位を持っているかを示すものである。
とびとびの番号の指標{\displaystyle n}n で指定されるエネルギー準位{\displaystyle E_{n}({\boldsymbol {k}})}{\displaystyle E_{n}({\boldsymbol {k}})} は、波数ベクトル{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}{\displaystyle {\boldsymbol {k}}} に応じて連続的に変化し、
そのとりうる値の領域をエネルギーバンドと呼ぶ。原子配列のようにポテンシャルが規則正しく周期的に変化する結晶では、エネルギーバンドが存在する。

周期ポテンシャル内の電子が持つ結晶運動量は運動量に似た性質を持つ量で、ブロッホ関数の波数ベクトル{\displaystyle {\boldsymbol {k}}}{\displaystyle {\boldsymbol {k}}} に換算プランク定数 {\displaystyle \hbar }{\displaystyle \hbar } をかけたもので定義される。

結晶中に多数ある電子を考えるときに１電子の波動関数を用いる有効性については、密度汎関数理論によって保障されている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/612

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