現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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608: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 13:34:50.37 ID:nN7QsxvT

>>606
おっちゃん、どうも、スレ主です。

モノドロミーの歴史（だれがいつ？）を調べていたのだが、パンルヴェ方程式からみ、
”1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P1 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。”
が、最初かも（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%B3%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
パンルヴェ方程式

名の由来は後にフランス首相の座に就くポール・パンルヴェの著した論文 (Paul Painleve 1900, 1902) から。

歴史
パンルヴェ超越関数の起源は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究および、線型微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。

エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとして失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃、ポール・パンルヴェは動く特異点を持たない二階微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 R を用いて

{\displaystyle y''=R(y',y,t)}{\displaystyle y''=R(y',y,t)}
の形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除いて50個の「標準形」に直すことができることを発見した（一覧表が (Ince 1956) にある）。さらに Painleve (1900, 1902) では、先の50の「標準形」のうちの44個は既知の関数を用いて解けるという意味で削減できることが判明し、解として新たな特殊関数の導入を必要とする方程式として残ったのはわずかに6個であった
（実はパンルヴェの成果にはいくつか計算間違いがあり、のちに弟子のガンビエとフックスによって修正されている）。

パンルヴェが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P1 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは Gambier (1910) でパンルヴェ方程式のリストに加えられている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/608

613: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 16:44:18.12 ID:nN7QsxvT

>>608
＞モノドロミーの歴史（だれがいつ？）を調べていたのだが

追加
https://arxiv.org/abs/1507.00711
Monodromy and normal forms
Fabrizio Catanese (Universitaet Bayreuth)
(Submitted on 2 Jul 2015)
https://arxiv.org/pdf/1507.00711.pdf
MONODROMY AND NORMAL FORMS
FABRIZIO CATANESE
Abstract. We discuss the history of the monodromy theorem,
starting from Weierstras, and the concept of monodromy group.
From this viewpoint we compare then the Weierstras, the Legendre and other normal forms for elliptic curves, explaining their
geometric meaning and distinguishing them by their stabilizer in
PSL(2, Z) and their monodromy. Then we focus on the birth of
the concept of the Jacobian variety, and the geometrization of the
theory of Abelian functions and integrals. We end illustrating the
methods of complex analysis in the simplest issue, the difference
equation f(z) = g(z + 1) ? g(z) on C.

Introduction
In Jules Verne’s novel of 1874, ‘Le Tour du monde en quatre-vingts
jours’ , Phileas Fogg is led to his remarkable adventure by a bet made
in his Club: is it possible to make a tour of the world in 80 days?
Idle questions and bets can be very stimulating, but very difficult
to answer when they deal with the history of mathematics, and one
asks how certain ideas, which have been a common knowledge for long
time, did indeed evolve and mature through a long period of time, and
through the contributions of many people.
In short, there are three idle questions which occupy my attention
since some time:

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/613

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