現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

608: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 13:34:50.37 ID:nN7QsxvT

>>606
おっちゃん、どうも、スレ主です。

モノドロミーの歴史（だれがいつ？）を調べていたのだが、パンルヴェ方程式からみ、
”1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P1 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。”
が、最初かも（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%B3%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
パンルヴェ方程式

名の由来は後にフランス首相の座に就くポール・パンルヴェの著した論文 (Paul Painleve 1900, 1902) から。

歴史
パンルヴェ超越関数の起源は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究および、線型微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。

エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとして失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃、ポール・パンルヴェは動く特異点を持たない二階微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 R を用いて

{\displaystyle y''=R(y',y,t)}{\displaystyle y''=R(y',y,t)}
の形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除いて50個の「標準形」に直すことができることを発見した（一覧表が (Ince 1956) にある）。さらに Painleve (1900, 1902) では、先の50の「標準形」のうちの44個は既知の関数を用いて解けるという意味で削減できることが判明し、解として新たな特殊関数の導入を必要とする方程式として残ったのはわずかに6個であった
（実はパンルヴェの成果にはいくつか計算間違いがあり、のちに弟子のガンビエとフックスによって修正されている）。

パンルヴェが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P1 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは Gambier (1910) でパンルヴェ方程式のリストに加えられている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/608

611: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 14:13:39.44 ID:nN7QsxvT

>>606
おっちゃん、どうも、スレ主です。
モノドロミー行列な

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC%E8%A1%8C%E5%88%97
モノドロミー行列
(抜粋)
数学の特に常微分方程式・複素微分方程式の分野における、モノドロミー行列（モノドロミーぎょうれつ、英: monodromy matrix）とは、ある常微分方程式系のゼロにおいて評価される基本行列の逆行列と、その系が持つ係数の周期において評価される基本行列の積で与えられる行列のことを言う。
フロケ理論における常微分方程式の周期解の解析に用いられる。また、モノドロミー行列が分かれば、与えられた常微分方程式の解が解析接続によってどう変わるかを完全に把握できる[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%82%B1%E7%90%86%E8%AB%96
フロケ理論
(抜粋)
数学のフロケ理論（フロケりろん、英: Floquet theory）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。

{\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,\,}{\dot {x}}=A(t)x,\,
ここで {\displaystyle \displaystyle A(t)}\displaystyle A(t) は区分的連続な周期 {\displaystyle T}T の周期関数である。

フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、Gaston Floquet (1883) によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対する標準形（英語版）を与えるものである。
それはまた、{\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}\displaystyle Q(t+2T)=Q(t) を満たすような座標変換 {\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}\displaystyle y=Q^{{-1}}(t)x を与え、これは周期系を典型的な実係数の線型系へと変換する。

固体物理学において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理として知られている。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/611

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.030s