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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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602: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/08(金) 08:33:25.22 ID:9JDZmqGe >>601 つづき 複素領域での微分方程式 重要な応用のひとつが微分方程式であり、そこではひとつの解が解析接続により線型独立な解たちを与えることとなる。さらに詳しくは、複素平面内の開いた連結集合 S の中で定義された線型微分方程式が S の基本群の線型表現であるループを回るすべての解析接続のモノドロミー群を持つ。 与えられた表現を持ち確定特異点（英語版）(regular singularities)を持つ方程式を構成する逆問題をリーマン・ヒルベルトの問題（英語版）(Riemann?Hilbert problem)という。 ドリーニュ・シンプソンの問題（英語版）(Deligne?Simpson problem)は次のような実現問題である。GL(n, C) の共役類の組に対し、上記の関係式を満たす行列の既約な組 Mj がこれらのクラスに存在するか？ この問題は、ドリーニュ(Pierre Deligne)により最初に定式化され、カルロス・シンプソン（英語版）(Carlos Simpson)によりこの解決へ向けた最初の結果が得られた。フックス系の留数についての加法的な版の問題は、ヴラディミール・コストフ（英語版）(Vladimir Kostov)により定式化され研究された。この問題は、多くの数学者により GL(n, C) 以外に対しても同様に考えられた[2]。 位相的側面と幾何学的側面 モノドロミー亜群と葉層 基本亜群の類似として、起点を選択をせずにモノドロミー亜群を定義することが可能である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/602
603: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/08(金) 08:33:55.66 ID:9JDZmqGe >>602 つづき ガロア理論を経由した定義 F(x) で体 F 上の変数 x の有理函数の体を表す。これは多項式環 F[x] の分数体である。F(x) の元 y = f(x) は、有限次拡大 [F(x) : F(y)] を決定する。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4 代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、英: fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。 直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。 基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群と同一視することできる。位相空間が単体複体に同相のとき、基本群は群の生成子と関係式のことばで明示的に記述することができる。 基本群はアンリ・ポアンカレによって1895年に論文"Analysis situs[1]"で定義された。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事でリーマン面の理論において基本群の概念が現れた。基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素関数のモノドロミー的性質の記述もする。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/603
607: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/08(金) 13:24:52.79 ID:nN7QsxvT >>591 >そういう"本質"を取り出したものが基本群。 >GL(1,C)などでは全くない。 モノドロミーで、GL(n, C)が出てくるよ（＾＾ (>>602より) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC モノドロミー ドリーニュ・シンプソンの問題（英語版）(Deligne?Simpson problem)は次のような実現問題である。GL(n, C) の共役類の組に対し、上記の関係式を満たす行列の既約な組 Mj がこれらのクラスに存在するか？ この問題は、ドリーニュ(Pierre Deligne)により最初に定式化され、カルロス・シンプソン（英語版）(Carlos Simpson)によりこの解決へ向けた最初の結果が得られた。フックス系の留数についての加法的な版の問題は、ヴラディミール・コストフ（英語版）(Vladimir Kostov)により定式化され研究された。この問題は、多くの数学者により GL(n, C) 以外に対しても同様に考えられた[2]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/607
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