現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

601: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 08:31:51.76 ID:9JDZmqGe

>>591
モノドロミーじゃね？（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC
モノドロミー

モノドロミー (monodromy[1]) は、解析学、代数トポロジー、代数幾何学や微分幾何学の観点から特異点の周りで対象がどのように振舞うかを研究する。
名前が意味しているように、モノドロミーの基本的な意味は、「ひとりで回る」という意味である。被覆写像と被覆写像の分岐点への退化とは密接に関係している。
モノドロミー現象が生ずることは、定義したある函数が一価性に失敗することを意味し、特異点の周りを回る経路を動くことである。このモノドロミーの失敗は、モノドロミー群を定義することによりうまく測ることができる。
モノドロミー群は、「回る」ことに伴い起きることをエンコードするデータに作用する群である。

目次
1 定義
2 例
3 複素領域での微分方程式
4 位相的側面と幾何学的側面
4.1 モノドロミー亜群と葉層
5 ガロア理論を経由した定義

例
これらのアイデアは、まず複素解析の中で明らかになった。解析接続の過程では、穴あき複素平面 {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}{\mathbb {C}}\setminus \{0\} のある開集合 E で解析函数 F(z) であるような函数は、E の中に戻ってきたとき、異なる値となるかも知れない。たとえば、

F(z) = log z
E = {z ∈ C : Re(z) > 0}
とすると、円

|z| = 0.5
を反時計回りに回る解析接続は、F(z) ではなく、

F(z) + 2πi
となる。

この場合、モノドロミー群は無限巡回群であり、被覆空間は穴あき複素平面の普遍被覆である。この被覆は、ρ > 0 とした場合に、ヘリコイド（英語版）(helicoid)として視覚化できる。明白な方法で螺旋を潰して穴あき平面を得るという意味で、被覆写像は垂直射影である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/601

605: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 11:30:32.63 ID:nN7QsxvT

>>601 補足

下記、数学Tips ～分岐点とリーマン面～ KENZOU 2008 年 7 月 6 日 より
(引用開始)
w = z^1/n
関数 w は，複素平面上で z = 0 のまわりに n 回まわってはじめてもとの値に戻るか n 価関
数となる。これを 1 価関数に見直すには n 葉のリーマン面が必要となる。言い換えると，「一般に，通常の複素
平面上での n 価関数は，n 葉のリーマン面上で 1 価関数とみなせる」ということになる。

w = log z
この場合は，分岐点 z = 0 のまわりを同じ向きに何回まわっても永遠にもとには戻れない。無限多価関数である。
(引用終り)
これ、図があるので、分かり易い
それで、上記が、モノドロミーで、w = z^1/nとw = log zとは、区別される

一方、基本群の話は、下記
”基本群はホモトピー不変量であるので、複素平面から一点を除いた空間の回転数の理論は、円（の基本群）と同じとなる。”
で、分岐点 z = 0を特異点として、”複素平面から一点を除いた空間”は、w = z^1/nもw = log zも、同じじゃね？

（参考）
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/
山本 健二 独習者のための理系大学数学
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/CoffeeBreak.html
CoffeeBreak
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Riemann.pdf
数学Tips
～分岐点とリーマン面～
KENZOU
2008 年 7 月 6 日

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4
基本群

基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素関数のモノドロミー的性質の記述もする。

例

無限巡回群になる基本群

基本群はホモトピー不変量であるので、複素平面から一点を除いた空間の回転数の理論は、円（の基本群）と同じとなる。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/605

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.035s