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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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594: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/08(金) 07:51:39.50 ID:9JDZmqGe >>593 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96 ゲージ理論（ゲージりろん、英: gauge theory）とは、連続的な局所変換の下でラグランジアンが不変となるような系を扱う場の理論である。 目次 1 概要 2 歴史 2.1 非可換ゲージ理論 2.2 数学におけるゲージ理論 3 ゲージ場 3.1 大域対称性と局所対称性 3.2 ファイバーバンドルを使った局所対称性の記述 3.3 ゲージ場 3.4 物理実験 3.5 連続体の理論 3.6 場の量子論 4 古典ゲージ理論 4.1 古典電磁気学 4.2 例：スカラー O(n) ゲージ理論 4.3 ゲージ場のヤン・ミルズラグランジアン 4.4 電磁気学の例 5 数学的定式化 5.1 接続による定式化 5.2 ヤン・ミルズ作用 6 ゲージ場の量子化 6.1 方法と目的 6.2 アノマリ 7 大域対称性 7.1 例 8 局所対称性 8.1 例 9 脚注 歴史 ワイル(Hermann Weyl)が、一般相対論と電磁気学を統一しようと、スケール変換（もしくは、ゲージ変換）の下の不変性が、一般相対論の局所対称性であろうと予想した。 量子力学の発展したのち、ワイル、フォック(Vladimir Fock)、ロンドン(Fritz London)が、スカラー要素を複素数値に置き換え、スケール変換を U(1) ゲージ対称性である相(phase)の変更に置き換えることにより、スケール（ゲージ）を変形した。 このことが、電荷を帯びた量子力学的な粒子の波動函数として電磁場を説明した。これがヴォルフガング・パウリ(Wolfgang Pauli)により1940年代に広められ、ゲージ理論として広く認識された最初であった。[1] つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/594
595: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/08(金) 07:52:38.58 ID:9JDZmqGe >>594 つづき 非可換ゲージ理論 1954年に楊振寧とミルズは核子の強い相互作用を説明するモデルを提唱した[2]。 彼らは、電磁相互作用のU(1)対称性の理論を一般化して、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に基づいた理論を構築した。このモデル自体は実験と整合しなかったが非可換対称性に基づくヤン＝ミルズ理論として多くの理論の原型となった。 このアイデアは後に、弱い相互作用と電磁相互作用を統一する電弱相互作用への応用が見いだされた。さらに、非可換ゲージ理論は漸近的自由性と呼ばれる特徴を再現できることが判明したことで、ゲージ理論はより魅力的なものとなった。 漸近的自由性は強い相互作用の重要な特徴であると見なされていた。これにより、強い相互作用のゲージ理論を探求しようという動機が生まれた。 この理論は量子色力学と呼ばれ、クォークのカラーSU(3)対称性に基づくゲージ理論である。ゲージ理論は、量子電磁力学 (QED) 、量子色力学 (QCD) およびワインバーグ＝サラム理論の基礎をなしている。さらに、電磁相互作用、弱い相互作用および強い相互作用を統一する標準模型はゲージ理論の言葉で記述されている。 数学におけるゲージ理論 1970年代になって、マイケル・アティヤは古典的ヤン＝ミルズ方程式の数学的解決法の研究を始めた。1983年、アティヤの学生サイモン・ドナルドソンは滑らかな4次元微分可能多様体の分類では、位相同型の違いを除いた分類とは異なっていることを示す方向の研究を進めた。 マイケル・フリードマンは、ドナルドソンの研究成果を用いて、エキゾチック R4（英語版） の存在、すなわち、4次元ユークリッド空間とは異なるエキゾチックな微分構造（英語版）(Differential structure)が存在することを示した。 このことは、ゲージ理論自体が持つ基礎物理学における成功とは独立して、数学的構造に対するゲージ理論への関心を呼び起こした。1994年、エドワード・ウィッテンおよびネーサン・サイバーグは、超対称性に基づいたゲージ理論的テクニックを発見した。 ここでの方法はあるトポロジー的不変性の計算を可能とする方法でもある。これら、ゲージ理論からの数学への貢献は、この分野の新たな関心として注目されている。 ゲージ理論および場の量子論の歴史に関するより詳細な資料はPickeringの書籍を参照のこと (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/595
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