[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/

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51: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/20(日) 09:29:59.52 ID:f+LcfVi/ >>47 無理しなくていいぞ >位数はｐ（ｐ−１）で非可換群 位数がｐ（ｐ−１）だから非可換とは言えないだろう？ 例えば、P=7で、ｐ（ｐ−１）＝42＝7x3x2 と分解して、各巡回群の直積 C7xC3xC2 を考えたら 明らかに、位数42で、アーベルだから じゃ、位数42で非可換という条件なら？ 下記、脇克志 フリーソフトのGAP使えば、すぐ出るらしい（＾＾ そのうちやってみるかｗ でな 下記wiki”For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. ”ってことよ 「 x→ ax+b」が、ガロア第一論文に出てくる ガロア第一論文読んでないやつには、分からん話だよ （参考） http://fe.math.kobe-u.ac.jp/ http://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre/ http://www.math.kobe-u.ac.jp/cm/archive-ja.html 計算による数理科学の展開 (http://www.math.kobe-u.ac.jp/cm) http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/taka/video-ja.html 講義, 講演等のビデオを公開するプロジェクト http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-09-20-sd-waki.html - 計算による数理科学の展開, Video Archives - 講演: 脇克志 内容: GAPを利用した有限群論 予備知識: 代数の初歩 ソース: 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学 要約: KNOPPIX/MATH にも収録されている 代数計算ソフト GAPを使った有限群論を教える試みを紹介します。GAPを利用して有限群を実感させる講義を行った時の成功と失敗を通して、教育ツールとしてのGAPの利用方法を考えて行きます。 http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-09-20-sd-waki.pdf - 計算による数理科学の展開, Video Archives - 講演: 脇克志 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学 https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group Frobenius group (抜粋) Examples ・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/51

55: {} ◆y7fKJ8VsjM [sage] 2019/10/20(日) 09:51:19.85 ID:n9MZ9SCV >>51 >>位数はｐ（ｐ−１）で非可換群 >位数がｐ（ｐ−１）だから非可換とは言えないだろう？ 対称群Spの部分群で位数がｐ（ｐ−１）なら非可換群 嘘だと思うなら置換から計算して確かめてごらん 貴様こそ底抜けの馬鹿なんだから無理してリコウぶるなｗｗｗ 対称群Snで、位数がｐ（ｐ−１）の巡回群が部分群となるには ｎがいくつ以上なら十分か、理解してから書き込みやがれ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/55

57: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/20(日) 13:00:29.77 ID:f+LcfVi/ >>51 補足 ＞無理しなくていいぞ おさる の ぼくちゃん 前スレで（下記）「自分の頭を通して書いている」なんて言われていたが（＾＾ ＜おれの推定＞ １）まあ、学部レベルで一通り、一般レベルの方程式のガロア理論はやったんだろう 　だが、その学部レベルとは、たいていは、アルティンの本レベルで、 　ガロア群を導入してガロア対応から5次以上の一般方程式がベキ根で解けないことを示して終りだね ２）しかし、ガロアの第一論文の最後は、 「素数p次の代数方程式が解ける条件＝ガロア群が位数p(p-1)になるとき」という定理と 　5次の場合に具体的に位数20の群を例示して終わっているのだが 　それは、普通は、学部レベルには入っていないのです 　（和書の学部教科書でこれを取り上げているのは、寡聞にして知らない） ３）ガロアの第一論文を取り上げている和書は、過去、守屋本、倉田本などがあったけど 　（最近は、英文でCoxのガロア理論が出て、訳本も出たけど） ４）で、ぼくちゃん、「自分の頭を通して」というよりも、 　おっさんになって、ほとんど忘れかけている学部の講義の記憶を「思い出しながら」じゃね？ｗ（＾＾ ５）なので、ぼくちゃんの一般学部レベルのガロア理論だと、 　いましている”ガロアの第一論文”の議論には、ちょっと足りない 　まあ、代数の群・環・体は、一通りはやったらしいということは、認めるけれどもね だから、”無理しなくていいぞ”ってことｗ（＾＾； 前スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/915- より 915 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 08:11:30.07 ID:rXxqe236 (抜粋) Mara Papiyas（ ◆y7fKJ8VsjM ）さんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って 自分の頭を通して書いているなというのが分かります (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/57

61: {} ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/20(日) 16:01:08.63 ID:n9MZ9SCV >>60のヒント？ 馬鹿が>>51に自慢気に書いた式「x→ ax+b」(￣ー￣) (1234567)のところが「+b」に関わる生成元だな (1234567)じゃなくて(0123456)にしたほうが分かりやすいかもな ということで「a×」に関わる生成元を書けばいい ここまで教えてやったのに答えられないようじゃ 要するにガロア第一論文が全然分かってない証拠だぞ(￣ー￣) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/61

91: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/21(月) 07:53:33.29 ID:P3acsak1 >>81 ＞答えは(243756) （もとの問題は>>60-61） 注文つけて悪いが 下記の 卒業研究”S_3, S_4, S_5 の部分群の分類”の P14 §4.13 S5 の位数 20 の部分群 と対比すると １）問題の位数42の群が構成できることが示されていない ２）位数42の群が構成されたとして、構成された群がFrobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"（下記） となることが示されていない （∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね。非可換例1つで何が言いたい？ (Z/7Z)×とZ/7Zとで、部分群の位数42を示さなきゃ。そこが肝でしょ？（＾＾； ） 手を動かせとか言っていたよね（>>49）（＾＾； どぞ （参考） http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf 2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類 （>>51） https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group Frobenius group (抜粋) Examples ・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/91

131: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/22(火) 08:17:24.55 ID:u309yKT7 >>81 >x→ ax+b >要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい それ結構センスいいね ちょっと違うけど、類似のことを考えていた 前スレのBrent Everitt先生 P77を見て、思いついたんだが 前スレの「分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3. ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。」 という議論を、Brent Everitt先生 P77を適用すれば P77のx^5-2=0のクンマー拡大の群から、位数20＝5x4の群が求まって、その群は1の原始n乗根ωが添加されない一般の位数20の群と同じ それを、素数p次 x^p-2=0 で考えると、ガロアの第一論文の最終命題のFrobenius group（>>51）が得られるね スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/875- 875 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/16(水) 07:54:22.35 ID:OrOarbJT [5/12] (抜粋) (Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ）） https://arxiv.org/abs/1804.04657 Galois Theory - a first course Brent Everitt (Submitted on 12 Apr 2018) These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra. https://arxiv.org/pdf/1804.04657.pdf スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/938- (抜粋) 938 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 [7/8] aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。 分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3. ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。 つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる （分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが 最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。 わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/131

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