現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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464: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/04(月) 17:48:17.27 ID:Qu1TcOyQ

>>463
つづき

5. The group PGL2(7)
Theorem 5.1. The polynomial
f(a, t, X) := X(X^7 + X^6 + 14aX^5 + 7aX^4 + 49a^2X^3 + 14a^2X^2 + 49a^3X + 7a^3)+t(7X^2 + X + 1)
has Galois group PGL2(7) over Q(a, t). The branch cycle description with respect to t is
of type (2^3, 2^3, 2^3, 6).

Remark. The polynomial f in Theorem 5.1 has totally real specializations; for example,
if a = ?2 and ?1 ? t ? 6. One example of a totally real PGL2(7) polynomial is given by
X^8 ? 2 X^7 ? 35 X^6 + 308 X^4 + 308 X^3 ? 462 X^2 ? 556 X + 6.
The field extension with group L3(2) constructed by LaMacchia (1980) is embeddable
into a PGL2(7)-field. Since PGL2(7) does not have a faithful permutation representation of degree 7, a stem field of that Galois extension will have degree 8. A generating
polynomial is given by:

Theorem 5.2. The polynomial
f(a, t, X) := (X^2 ? 4 (16 a ? 3) b) (X^3 + 4 b X^2 ? 2 X (16 a ? 3) b ? 4 (16 a ? 3) b^2)2
? t(2X^5 + (8 a^2 ? 24 a ? 31)X^4 ? 4(40 a + 17)bX^3 ? 4(16 a ? 3)
(6 a^2 ? 20 a ? 29)bX^2
+ 32 (88 a^6 ? 497 a^5 ? 302 a^4 + 114 a^3 + 854 a^2 ? 9 a ? 18) X + 16 (64 a^8 ? 2672 a^7
+ 2906 a^6 + 550 a^5 + 3466 a^4 ? 118 a^3 ? 2731 a^2 + 366 a ? 90))
+ t2(X^2 ? 4 (2 a ? 1) X + 4 (31 a^2 ? 4 a + 1))
(where b := a^2 ? 2 a ? 1) has Galois group PGL2(7) over Q(a, t). The branch cycle
description with respect to t is of type (2^4, 2^4, 2^3, 6).
The polynomial f(a, t2, X) has Galois group L2(7) over Q(a, t), with branch cycle description of type (2^4, 2^4, 2^4, 2^4, 3^2) with respect to t.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/464

478: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/04(月) 18:24:47.21 ID:Qu1TcOyQ

>>471
>全然計算しないで何が面白いか分かるわけないがねｗ

おれから言わせれば
おっちゃんの手計算で、開平法できる発言に相似だな（＾＾

手計算の開平法ならったよ、中学でな。でも試験には出ないし、忘れた
いま、√は電卓やエクセルでしょ？（＾＾

例えばさ >>464
"5. The group PGL2(7)
Theorem 5.1. The polynomial
f(a, t, X) := X(X^7 + X^6 + 14aX^5 + 7aX^4 + 49a^2X^3 + 14a^2X^2 + 49a^3X + 7a^3)+t(7X^2 + X + 1)"
という多項式があるよね
意味を知ろうとして、手計算をやるべきだとでも？

例えばさ >>464
Theorem 5.2. The polynomial
f(a, t, X) := (X^2 - 4 (16 a - 3) b) (X^3 + 4 b X^2 - 2 X (16 a - 3) b - 4 (16 a - 3) b^2)2
- t(2X^5 + (8 a^2 - 24 a - 31)X^4 - 4(40 a + 17)bX^3 - 4(16 a - 3)
(6 a^2 - 20 a - 29)bX^2
+ 32 (88 a^6 - 497 a^5 - 302 a^4 + 114 a^3 + 854 a^2 - 9 a - 18) X + 16 (64 a^8 - 2672 a^7
+ 2906 a^6 + 550 a^5 + 3466 a^4 - 118 a^3 - 2731 a^2 + 366 a - 90))
+ t2(X^2 - 4 (2 a - 1) X + 4 (31 a^2 - 4 a + 1))
(where b := a^2 - 2 a - 1) has Galois group PGL2(7) over Q(a, t).

この多項式を、手計算で求めて見ろよ
このスレで
許すよ
余白が足りなくなったら、次スレ立てるぜｗ（＾＾；
手計算で多項式を求めたら、意味が分かる？
数式処理ソフト使えばいいんじゃね？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/478

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