[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/

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395: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/03(日) 07:36:52.30 ID:apiWSBWV >>305 ガロア逆問題で ” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.” を考えていたんだ なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？ PSL(2,16):2とは何か？ 最初は、PSL(2,16):2は、PGL(2,16)のことかなと考えていたのだが、 下記 17 7 8160 で、”<PZL(2,16)”などと書かれたりして、なんか違うみたい 18 では、 1 2448 PSL(2,17) 、 2 4896 PGL(2,17) で、話は合うのだが （因みに、PGL(2,16)は位数4080で、2448 （PSL(2,17)）と位数の大小が逆転している） （参考） https://conf.math.illinois.edu/Software/magma/text76.html Database of Primitive Groups (抜粋) （表が崩れているので、原文の表見て下さい） Deg | No | Order | t |+/-| Fr. | N | G(n) | G^(t) orbs | Comments 17 | 1 | 17 | | | | - | | | 17 | 2 | 34 | | | * | 17G1 | | 1,2^8 | D(17) | 3 | 68 | | | * | 17G1 | | 1,4^4 | 17:4 | 4 | 136 | | | * | 17G1 | | 1,8^2 | 17:8 | 5 | 272 | s2 | - | * | 17G1 | | | AGL(1,17) | 6 | 4080 | s3 | | | - | 16G3 | | PSL(2,16) | 7 | 8160 | 3 | | | 17G6 | 16G6 | 1^5,2^6 |<PZL(2,16) | 8 | 16320 | 3 | | | 17G6 | 16G10| 1^3,2,4^3 | PYL(2,16) | 9 | 17!/2 | s15p | | | - | 16G21| | A(17) | 10 | 17! | s17 | - | | 17G9 | 16G22| | S(17) 18 | 1 | 2448 | 2p | | | - | 17G4 | 1^2,8^2 | PSL(2,17) | 2 | 4896 | s3 | - | | 18G1 | 17G5 | | PGL(2,17) | 3 | 18!/2 | s16p | | | - | 17G9 | | A(18) | 4 | 18! | s18 | - | | 18G3 | 17G10| | S(18) (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/395

397: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/03(日) 07:38:50.04 ID:apiWSBWV >>395 つづき で、いろいろ検索すると 下記があって、 「PSL(2,16) = PGL(2,16)」位数 4080 因みに、 PSL(2,8) = PGL(2,8)　504 PSL(2,32) = PGL(2,32)　32736 （だけど、PSL(2,64)とPSL(2,256)とはあるが、PGL(2,64)とPGL(2,256)とについての記載がない（＾＾； ） なので、上記の”<PZL(2,16)”は、下記PSL(2,16):2と一致して、PGL(2,16)別ものなんだ それで、”「PSL(2,16) = PGL(2,16)」位数 4080”みたいな例外的な性質から、ガロアの逆問題不成立かな と思う（もし不成立としてだが） （参考） http://homepages.ulb.ac.be/~dleemans/ Prof. Dimitri Leemans Universite Libre de Bruxelles Departement de Mathematique Belgium http://homepages.ulb.ac.be/~dleemans/atlaslat/ An atlas of subgroup lattices of finite almost simple groups Thomas Connor and Dimitri Leemans (抜粋)（原文はきれいな表で見やすい） Linear groups and their automorphism groups G　Aut(G)　Order of G　Number of conjugacy classes of subgroups Alt(5) = PSL(2,4) = PSL(2,5)　Sym(5)　60　9 PSL(3,2) = PSL(2,7)　PΓL(2,7)　168　15 PGL(2,7) = PΓL(2,7)　PΓL(2,7)　336　23 Alt(6) = PSL(2,9) = Sp(4,2)' = M10'　PΓL(2,9)　360　22 PGL(2,9)　PΓL(2,9)　720　26 PSL(2,8) = PGL(2,8)　PΓL(2,8)　504　12 PSL(2,11) = PΣL(2,11)　PΓL(2,11)　660　16 PGL(2,11) = PΓL(2,11)　PΓL(2,11)　1320　29 PSL(2,13) = PΣL(2,13)　PΓL(2,13)　1092　16 PGL(2,13) = PΓL(2,13)　PΓL(2,13)　2184　30 PSL(2,17) = PΣL(2,17)　PΓL(2,17)　2448　22 PGL(2,17) = PΓL(2,17)　PΓL(2,17)　4896　32 PSL(2,19) = PΣL(2,19)　PΓL(2,19)　3420　19 PGL(2,19) = PΓL(2,19)　PΓL(2,19)　6840　36 PSL(2,16) = PGL(2,16)　PΓL(2,16) = PΣL(2,16)　4080　21 PSL(2,16):2　PΓL(2,16) = PΣL(2,16)　8160　47 PΓL(2,16) = PΣL(2,16)　PΓL(2,16) = PΣL(2,16)　16320　69 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/397

400: １３２人目の素数さん [sage] 2019/11/03(日) 07:51:37.29 ID:XMxtFIH6 >>395 >（因みに、PGL(2,16)は位数4080で、2448 （PSL(2,17)）と位数の大小が逆転している） それは多分、F_qに2乗して1になる元があるかないかが関係してるのでは。 (F_16)^*は位数15の巡回群、(F_17)^*は位数16の巡回群で 前者には2乗して単位元になる元がないが後者にはあるので。 行列 a b c d と -a -b -c -d は同じ元をあらわすので。それがP（projective、射影的）の意味です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/400

405: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/03(日) 08:29:56.37 ID:apiWSBWV >>402 >pglとかpslの位数ごときいちいち検索しないと出せないなんて話にならん。 確かに（＾＾； GAPとか入れるか >>403 >射影空間の定義でも同値関係〜で割った商空間という概念が現れ >それは数学を学んだひとにとっては非常に明快なことだが ありがとう いま知りたいのは、>>395 ”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？ PSL(2,16):2とは何か？” ってこと あなたの考えられる理由を書いてくれますか？ なんでも言い 単なるあてずっぽうで良いから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/405

415: １３２人目の素数さん [] 2019/11/03(日) 08:59:25.75 ID:XMxtFIH6 >>405 >いま知りたいのは、>>395 >”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？ それは計算上というだけで証明されてはいないですね。 証明できれば少し大げさに言うと「歴史に残る」レベルの結果では。 かといって、数学科修士レベルが解けないとも言い切れない。 いい問題なのでは。 >PSL(2,16):2とは何か？ だから、それは>>329にあるようにPSL(2,16)とGal(F_q/F_p)の部分群との半直積群ですよ。 PSL(2,16)、PSL(2,16):2、PSL(2,16):4　の3つの群が生じてるわけですね。 http://galoisdb.math.upb.de/groups? によると 群によって発生確率が大きく違う。まずはその理由を知ることが基本でしょうね。 ガロア逆問題を本格的に勉強する必要がありますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/415

421: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/03(日) 09:13:39.06 ID:apiWSBWV >>415 ID:XMxtFIH6さん、どうも、レスありがとう >>いま知りたいのは、>>395 >>”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？ >それは計算上というだけで証明されてはいないですね。 >証明できれば少し大げさに言うと「歴史に残る」レベルの結果では。 >かといって、数学科修士レベルが解けないとも言い切れない。 >いい問題なのでは。 そうなんですね なるほど PSL(2,16):2 が、なにか、ガロア逆問題から見て、特別な存在なのでしょうね １）ガロア逆問題が解けない か ２）ガロア逆問題は解けるが、普通のコンピュータの構成に乗らない（定義多項式が複雑になる） １）か２）か そして、なにか理屈があって、そうなっている。それは何か あるいは、よくあるアプローチが、定義多項式を評価する何か指標を作って、PSL(2,16):2 の定義多項式の上限を押さえる そして、上限以下には、そのような式が存在しないと（あるいは調べたら、上限近くにあるのかも） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/421

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