[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/

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387: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/02(土) 11:48:09.63 ID:ZLEqKHqI >>375 追加 ＞　PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で これ大丈夫か？ ”PGL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用”ならば、言えると思うが 下記の”ポワンカレの上半平面モデル”より、 「この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 PSL(2, R) 」 「その作用は上半平面上推移的かつ等距」とあるけどね？（＾＾； (>>362より） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%81%AE%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB ポワンカレの上半平面モデル (抜粋) 対称性の群 射影線型群 PGL(2,C) はリーマン球面に一次分数変換で作用する。 この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 PSL(2, R) で、 その作用は上半平面上推移的かつ等距ゆえ、 上半平面はこの作用に関する等質空間となる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group Projective linear group Action on p points While PSL(n, q) naturally acts on (qn?1)/(q?1) = 1+q+...+qn?1 points, non-trivial actions on fewer points are rarer. Indeed, for PSL(2, p) acts non-trivially on p points if and only if p = 2, 3, 5, 7, or 11; for 2 and 3 the group is not simple, while for 5, 7, and 11, the group is simple ? further, it does not act non-trivially on fewer than p points.[note 5] This was first observed by Evariste Galois in his last letter to Chevalier, 1832.[7] This can be analyzed as follows; note that for 2 and 3 the action is not faithful (it is a non-trivial quotient, and the PSL group is not simple), while for 5, 7, and 11 the action is faithful (as the group is simple and the action is non-trivial), and yields an embedding into Sp. In all but the last case, PSL(2, 11), it corresponds to an exceptional isomorphism, where the right-most group has an obvious action on p points: Examples PSL(2,7) Modular group, PSL(2, Z) PSL(2,R) Mobius group, PGL(2, C) = PSL(2, C) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/387

393: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/03(日) 06:58:01.20 ID:apiWSBWV >>390 ID:lDq+/ft5さん、どうも。スレ主です。 レスありがとう (引用開始) PSLのSの意味は行列式が1ということ。 z→z+a(a∈F_q)という変換が含まれてるので、 0,1,...,qの上に推移的に作用している。 （そして0を外すわけにはいかない） また、z→-1/z という変換が含まれてるので この変換での0の行先として∞が含まれざるを得ない。 勿論、この変換はPSL(2,q)に含まれてる。 そもそも任意のz∈F_qに対して、z+p=zですね... (引用終り) すごいすごい（＾＾ 「PSLのSの意味は行列式が1ということ」 を昔読んだ気がするが 全然、理解できていないってことだろうね（＾＾； で、>>387は素朴な疑問で 　>>375より PSL(2, q) の群の位数は、PGL(2, q) を経由して出している それは、https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group Projective linear group に書いてあるので そこは分かった では、「PSLのSの意味は行列式が1ということ」から、 直接 PSL(2, q) の群の位数が、PGL(2, q) を経由しないで、出せる？ そもそもは 　>>317 "16は位数16の有限体F_16を意味する。 なんでPSL(2,16)が対称群S_17の 部分群として現れるか分かる？ 16+1=17なんだけど、+1の意味分かる？" だったのだが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/393

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