現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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375: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 10:29:23.42 ID:ZLEqKHqI

>>325
(引用開始)
「qを有限体の位数として
　PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で
　P1(Fq)の位数はq+1だから
　PSL(2,q)はq+1次対称群に埋め込める」
が正しい
(引用終り)

多分、私の文献コピペの意図が分からなかったと思うが
”とりなきさとのこうもり”さんの上記の検証をしていたんだ
当方は、有限体は、あまり知識がなかったのでね
文献を漁っていたんだ

”こうもり”さんのは、下記引用が該当するな
・Projective linear group Finite fields Action on projective line
　Some of the above maps can be seen directly in terms of the action of PSL and PGL on the associated projective line:
　PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (qn?1)/(q?1) points,
　and this yields a map from the projective linear group to the symmetric group on (q^n?1)/(q?1) points.
　For n = 2, this is the projective line P1(q) which has (q^2?1)/(q?1) = q+1 points,
　so there is a map PGL(2, q) → Sq+1.
・The order of PGL(2, q) is
　 (q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);
　the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).

なので、正確には
・PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (qn?1)/(q?1) points
・PSL(2, q) →PGL(2, q) → Sq+1
・The order of PGL(2, q) is
　 (q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1)
・the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
が正解だな

いや、”とりなきさとのこうもり”さんの 回答としては、決して間違いではないですよ（＾＾；

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group
Projective linear group
(抜粋)
4 Finite fields
4.1 History
4.2 Order
4.3 Exceptional isomorphisms
4.3.1 Action on projective line
4.3.2 Action on p points

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/375

376: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 10:30:30.40 ID:ZLEqKHqI

>>375
つづき

Action on projective line
Some of the above maps can be seen directly in terms of the action of PSL and PGL on the associated projective line:
PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (q^n?1)/(q?1) points,
and this yields a map from the projective linear group to the symmetric group on (q^n?1)/(q?1) points.
For n = 2, this is the projective line P1(q) which has (q^2?1)/(q?1) = q+1 points,
so there is a map PGL(2, q) → Sq+1.
To understand these maps, it is useful to recall these facts:
・The order of PGL(2, q) is
　 (q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);
the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
・The action of the projective linear group on the projective line is sharply 3-transitive (faithful and 3-transitive), so the map is one-to-one and has image a 3-transitive subgroup.
Thus the image is a 3-transitive subgroup of known order, which allows it to be identified. This yields the following maps:
・PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S3, of order 6, which is an isomorphism.
　・The inverse map (a projective representation of S3) can be realized by the anharmonic group, and more generally yields an embedding S3 → PGL(2, q) for all fields.
・PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S4, of orders 12 and 24, the latter of which is an isomorphism, with PSL(2, 3) being the alternating group.
　・The anharmonic group gives a partial map in the opposite direction, mapping S3 → PGL(2, 3) as the stabilizer of the point ?1.
・PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5, of order 60, yielding the alternating group A5.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/376

383: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 10:56:10.70 ID:ZLEqKHqI

>>375 補足

まあ、当方の知識と理解に穴があるというのは、その通りだろう。認めるよ
但し、数学科生といえども、入学から卒業まで、試験は全部満点という人も、いないだろう

全部満点でなくとも、卒業できるし
穴なら埋めれば良い

ところで、
（>>324より）
>全然深くねぇよ、馬鹿ｗｗｗ

半分は正しいが、半分は間違っている
一見簡単はことが、視点を変えると、深い意味が見えてくることがある（視点を高くするという意味もある）

例えば、「マイナスとマイナスをかけるとなぜプラス？」（下記）
中学生向けには、中学生向けがある

複素平面と、-1=cos(π)+isin(π)=e^(iπ) が図形の回転として、π：180度の回転と教えるのも、高校生向けにはありだろう
大学生向けで、群の作用として、-1が逆の作用を表わしていて、2回作用させると必ず元に戻る　(-1)^2＝e＝1 なんてのもありだろう

さらに上記の見方は、数学の鉱脈の一部が露頭しているという見方もなりたつ
だから、「全然深くねぇ」よりも、どこまで鉱脈が繋がっていて、一般化できるかという視点も大事だね

https://naop.jp/topics/topics27.html
マイナスとマイナスをかけるとなぜプラス？ 日刊『中・高校教師用ニュースマガジン』第１９１９号掲載 数学まるかじり
(抜粋)
そんなピカピカの数学で，初めて子どもたちが学習するのが「正の数・負の数」という分野です。
プラスとかマイナスの数字のことです。
面白いことに，＋５とか－３という数はほとんどの子どもが教える前から知っていて，３－７＝？と質問すると，半分近くの子が「－４」と答えてきます。
ところが，正の数・負の数の計算が始まると，徐々につまづく子どもたちが増え始めます。マイナスの数を「足す」，「引く」，「かける」，「割る」といった，四則演算の規則の理解に苦しんでいるようです。
例えば，
－３と－５を足すと，－８
－２に－５をかけると，＋１０
といった計算を習うわけですが，このメルマガをお読みの皆さんは，どうしてこれらの計算の答えがこうなるのか，
というのを理解することが，中学校数学のまず初めの関門なのです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:ExpIPi.gif
オイラーの等式

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/383

384: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 11:26:51.10 ID:ZLEqKHqI

>>375
>　PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_space
Projective space
(抜粋)
Morphisms
Injective linear maps T ∈ L(V, W) between two vector spaces V and W over the same field k induce mappings of the corresponding projective spaces P(V) → P(W) via:
[v] → [T(v)],
where v is a non-zero element of V and [...] denotes the equivalence classes of a vector under the defining identification of the respective projective spaces. Since members of the equivalence class differ by a scalar factor, and linear maps preserve scalar factors, this induced map is well-defined.
(If T is not injective, it has a null space larger than {0}; in this case the meaning of the class of T(v) is problematic if v is non-zero and in the null space. In this case one obtains a so-called rational map, see also birational geometry).
Two linear maps S and T in L(V, W) induce the same map between P(V) and P(W) if and only if they differ by a scalar multiple, that is if T = λS for some λ ≠ 0. Thus if one identifies the scalar multiples of the identity map with the underlying field K, the set of K-linear morphisms from P(V) to P(W) is simply P(L(V, W)).

The automorphisms P(V) → P(V) can be described more concretely. (We deal only with automorphisms preserving the base field K). Using the notion of sheaves generated by global sections, it can be shown that any algebraic (not necessarily linear) automorphism must be linear,
i.e., coming from a (linear) automorphism of the vector space V. The latter form the group GL(V). By identifying maps that differ by a scalar, one concludes that
Aut(P(V)) = Aut(V)/K× = GL(V)/K× =: PGL(V),
the quotient group of GL(V) modulo the matrices that are scalar multiples of the identity. (These matrices form the center of Aut(V).) The groups PGL are called projective linear groups. The automorphisms of the complex projective line P1(C) are called Mobius transformations.
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/384

387: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 11:48:09.63 ID:ZLEqKHqI

>>375 追加
＞　PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で

これ大丈夫か？
”PGL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用”ならば、言えると思うが
下記の”ポワンカレの上半平面モデル”より、
「この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 PSL(2, R) 」
「その作用は上半平面上推移的かつ等距」とあるけどね？（＾＾；
(>>362より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%81%AE%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
ポワンカレの上半平面モデル
(抜粋)
対称性の群
射影線型群 PGL(2,C) はリーマン球面に一次分数変換で作用する。
この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 PSL(2, R) で、
その作用は上半平面上推移的かつ等距ゆえ、
上半平面はこの作用に関する等質空間となる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group
Projective linear group

Action on p points
While PSL(n, q) naturally acts on (qn?1)/(q?1) = 1+q+...+qn?1 points, non-trivial actions on fewer points are rarer. Indeed, for PSL(2, p) acts non-trivially on p points if and only if p = 2, 3, 5, 7, or 11; for 2 and 3 the group is not simple, while for 5, 7, and 11, the group is simple ? further, it does not act non-trivially on fewer than p points.[note 5]
This was first observed by Evariste Galois in his last letter to Chevalier, 1832.[7]

This can be analyzed as follows; note that for 2 and 3 the action is not faithful (it is a non-trivial quotient, and the PSL group is not simple), while for 5, 7, and 11 the action is faithful (as the group is simple and the action is non-trivial),
and yields an embedding into Sp. In all but the last case, PSL(2, 11), it corresponds to an exceptional isomorphism, where the right-most group has an obvious action on p points:
Examples
PSL(2,7)
Modular group, PSL(2, Z)
PSL(2,R)
Mobius group, PGL(2, C) = PSL(2, C)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/387

404: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/03(日) 08:25:46.06 ID:apiWSBWV

>>400
ID:XMxtFIH6さん、どうも。スレ主です。
あなたが、一番レベルが高そうだね
昔、私がメンターさんと呼んだ人、多分 数学板のいろんなところに書いていた人で、おそらくはポスドククラスと思ったが
そういう人が居た
多分、就職して研究者になったんだと思うが、居なくなった
おっちゃんのこのスレに書いた証明を読んだりして、間違いを指摘していた
証明読むのが好きでないとやれないね。それと、多分、学生の（間違いを含んだ）答案を読む訓練が出来ているのだろう

>それは多分、F_qに2乗して1になる元があるかないかが関係してるのでは。
>(F_16)^*は位数15の巡回群、(F_17)^*は位数16の巡回群で
>前者には2乗して単位元になる元がないが後者にはあるので。

なるほどなるほど
そういう説明は分り易いね
ぼんやりと、おそらくは有限体で、q=17とq=16=2^4 とでは、体の構造が違うだろうとは思った
PGLを構成する >>375の "4.3.1 Action on projective line"とか ”4.3.2 Action on p points”とかから違っているのでは思ったけれど
（ https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group Projective linear group）

下記のPDF PSL(2,17) PGL(2,17) と、>>399のPDFの群表とを見比べてみるのも面白いかも
http://homepages.ulb.ac.be/~dleemans/atlaslat/psl217.pdf
THE SUBGROUP LATTICE OF L2(17) （PSL(2,17) = PΣL(2,17)）
THOMAS CONNOR AND DIMITRI LEEMANS
Table 1. Subgroup lattice of L2(17)
(抜粋)
Nr.　Structure　Order　Length　Maximal　Subgroups　Minimal　Overgroups

5　2:S3　24　102　10, 14 (3), 16 (4)　1
6　2:S3　24　102　11, 15 (3), 16 (4)　1

10　A4　12　102　18, 20 (4)　5
11　A4　12　102　19, 20 (4)　6
（5と6とか、10と11とか、似ているが微妙に違うのがあるね）

http://homepages.ulb.ac.be/~dleemans/atlaslat/pgl217.pdf
THE SUBGROUP LATTICE OF PGL2(17) ~= L2(17) : 2 （PGL(2,17) = PΓL(2,17)）
THOMAS CONNOR AND DIMITRI LEEMANS
Table 1. Subgroup lattice of L2(17) : 2

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/404

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