[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/

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332: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/01(金) 07:28:56.41 ID:rcKeDs9u >>325 どうも。スレ主です。 ありがとう、これか（＾＾； https://mathtrain.jp/galoisfield 高校数学の美しい物語 最終更新:2016/05/01 有限体（ガロア体）の基本的な話 (抜粋) 位数（要素数）が q の有限体が存在する ←→ ある素数 p と正の整数 n が存在して q=p^n 有限体とは 位数が有限である体を有限体（またはガロア体）と言います。大雑把に言うと，四則演算ができる有限集合のことです。 位数が q である有限体（実は，同型を除いて一通りに定まる）を Fq，GF(q) などと表記します。 一般に，位数が素数のべき乗である有限体は，既約多項式というものを用いて構成することができます。 また，位数が素数のべき乗でないような有限体は存在しません。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93 有限体 (抜粋) 有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。 主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 「有限斜体は可換体である」 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。 目次 1 構成例 2 構造 3 応用 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/332

333: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/01(金) 07:29:48.96 ID:rcKeDs9u >>332 つづき 構造 K を含む Fp の代数閉包を (Fp)^ とする。このとき K は、 (Fp)^ の元で、重根を持たない方程式 x^q ? x = 0 を満たすものの全体として特徴付けられる。特に位数が p^n の有限体は同型を除いて唯一つ存在する[1]。 この一意性により、位数 q の有限体を Fq または GF(q) などと表すことがある。 また、有限体 Fq と自然数 m に対し Fq の m 次拡大体は唯一つ存在し、Fq^m と同型であるということもわかる。さらに Fq^m の各元の Fq 上の最小多項式は x^q^m ? x を割り切るので、有限体の拡大はすべて分離的である。 つまり有限体は完全体である。さらに q 乗フロベニウス写像とよばれる自己同型写像 σ ： Ｆ_{q^m}→ Ｆ_{q^m}; a→ a^q を考えると、拡大 Fq^m/Fq のガロア群 Gal(Fq^m/Fq) = AutFq(Fq^m) はフロベニウス写像で生成される。つまり、 Gal (Ｆ_{q^m}/Ｆ_q)=< σ > ={ id _Ｆ_{q^m},σ ,σ ^2,ldots ,σ ^m-1} と表される[2]。したがって、有限体の拡大はすべて巡回拡大であるガロア拡大である。 有限体は代数的閉体でありえない。 有限体 Fq^m の元 α, αq, …, αq^m ? 1 が Fq 上のベクトル空間 Fq^m の基底をなすとき，この基底を正規基底という。正規基底は常に存在する[3]。 応用 ・リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(22)、GF(24)、GF(28)、GF(216) などを使う。 ・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(28) を使う。 ・楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2400) などを使う。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/333

334: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/01(金) 07:37:14.61 ID:rcKeDs9u >>332 追加 https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field Finite field (抜粋) Contents 1 Properties 2 Existence and uniqueness 3 Explicit construction 3.1 Non-prime fields 3.2 Field with four elements 3.3 GF(p2) for an odd prime p 3.4 GF(8) and GF(27) 3.5 GF(16) 4 Multiplicative structure 4.1 Discrete logarithm 4.2 Roots of unity 4.3 Example: GF(64) 5 Frobenius automorphism and Galois theory 6 Polynomial factorization 6.1 Irreducible polynomials of a given degree 6.2 Number of monic irreducible polynomials of a given degree over a finite field 7 Applications 8 Extensions 8.1 Algebraic closure 8.1.1 Quasi-algebraic closure 8.2 Wedderburn's little theorem 8.3 Relationship to other commutative ring classes 9 See also Existence and uniqueness Let q = p^n be a prime power, and F be the splitting field of the polynomial Explicit construction Non-prime fields Given a prime power q = pn with p prime and n > 1, the field GF(q) may be explicitly constructed in the following way. One chooses first an irreducible polynomial P in GF(p)[X] of degree n (such an irreducible polynomial always exists). Then the quotient ring Relationship to other commutative ring classes Finite fields appear in the following chain of inclusions: commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ finite fields See also Quasi-finite field Field with one element Finite field arithmetic Finite ring Finite group Elementary abelian group Hamming space (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/334

337: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/01(金) 08:29:03.93 ID:rcKeDs9u >>332 追加 ”ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造”、”Frobenius自己同型”、Frobenius写像か http://biteki-math.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） 美的数学のすすめ id:TSKi 2015-05-09 有限体の構造 (抜粋) 有限体の構造といっても、その多くは、Z/pZ（pは素数）の性質を一般化したものです。したがって、よく慣れ親しんでいるものだと思います。 位数pの有限体 　Z/pZは、位数pの有限体です。逆に、位数pの有限体は全てZ/pZと同型であることが知られています。 　同型を除いて一つに定まる位数pの有限体をFpと記します。また、そのうち0以外の元からなる集合をF×pと記します。F×pは乗法に関して群をなします。 ガロア群Gal(Fp^n/Fp)の構造 　Fp^nからFp^nへ写像として次のものを考えます。 Φ : Fp^n∋x→xp∈Fp^n 　ここで、x,y∈Fp^nに対してΦ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)が成立します。 Φは、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)に含まれていることが分かりました。 　この自己同型ΦをFrobenius自己同型といいます。そしてガロア群Gal(Fp^n/Fp)はFrobenius自己同型により生成されることが知られています。 Gal(Fp^n/Fp)={Φ,Φ2,?,Φn=1} つまり、ガロア群Gal(Fp^n/Fp)は、位数nの巡回群であり、Frobenius自己同型がその生成元となります。 ここまで、位数がpの有限体のn次拡大を見てきましたが、位数がpmの有限体のn次拡大に関しても、上とまったく同じ議論が成り立ちます。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/337

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