現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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218: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:06:38.38 ID:fHUQGPHQ

>>216
つづき

Parshin による類体論の証明方法 ([P1]) は、河田・佐竹による標数 p (> 0) の局所類体論の証明方法 ([KS1]) を応
用したものである. この論文で述べることであるが、Parshin による証明は主定理の証明
において表面上は Cohomology を使用しない類体論の証明方法である. 加藤と Parshin
の証明の大きな違いを述べると、Parshin の方法は K 群から最大 Galois 群の p-part へ
の写像の構成が、加藤の証明方法のように de Rham-Witt Complex を用いたりせず、
Artin-Schreier-Witt pairing を用いて、比較的容易にできる点である. その後も高次元
局所類体論について研究がなされ、Neukirch の方法を応用した I.B.Fesenko([F1, F2] に
よる方法、modified hypercohomology を用いた小屋 ([Ko1]) による方法が知られている.
(高次元局所体・高次元局所類体論全般については [F1] や [FK1] を参照のこと.)

局所類体論の証明方法またはそのアイディアを応用して、Parshin や Fesenko など高次
元局所類体論がいくつか証明されており、局所類体論の方法で高次元局所類体論が証明で
きるのではと期待されるのだが、Lubin-Tate による方法などの応用は、今のところ良い
結果が知られておらず ([V.Z1]) 同様にして証明できるか否か不明である.
一方で局所体に対して大域体と上位の概念があるように、高次元局所体に対して高次元
大域体というものがあり、加藤和也・斎藤秀司によって高次元大域類体論が完成されてい
る. 大域類体論と局所類体論の関係のようにして、高次元大域類体論を証明した後に、そ
の系として高次元局所類体論を得るということも考えられるが、高次元局所類体論の結
果を用いずに、高次元大域類体論を証明する方法はまだ知られておらず、大域類体論の
時のように、高次元大域類体論を最初に証明してから、高次元局所類体論を証明できる
かどうかも現在わかっていない. (高次元局所類体論と高次元大域類体論全般については
[RA],[IS1],[KA1],[KA2] を参照.)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/218

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