現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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173: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/24(木) 09:31:00.36 ID:V4UM6AG2

>>170

> ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
> 逆に、ある群Hが与えられたときに、
> 群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
> 必ず存在するかどうか
> それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
>

このあたりからもう理解が、ガタガタなんですよ。

1)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H

2)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H

が違うのはわかっていて1)の方は簡単に証明できる話だというのは一応わかってるのね？
ところが問題なのは1)と2)はとてもよく似ていて実際、日本語の文章にするとどっちの意味なのか迷ってしまうことがあります。今回の逆問題の説明などまさにそれです。
例えば次の文章はこの部分だけ見ると1)の意味にとってしまっても不思議はありません。

More generally, let G be a given finite group, and let K be a field. Then the question is this: is there a Galois extension field L/K such that the Galois group of the extension is isomorphic to G?

これがキチンと数学の文章を全体を通じて意味を理解しないと危ない部分なんですよ。
この部分 "だけ" を切り出してしまうと1)の意味のようにKとkの両方を動かしていいと思ってしまう可能性はなくはありません。
しかし前段にある文章

In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers Q.

を見ると2)の意味であろうと推察できます。
これなんか論理式で書くと明白に違いがわかる文章でも我々が普段使っている言語に直してしまうとどちらの意味にでもとれてしまう "怖さ" があるんですよ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/173

176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/24(木) 17:13:36.82 ID:zndIMm6S

>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。

あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？

少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。

基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）

Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
　　↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}

ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）

で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
　　↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）

でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
　　↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）

そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/176

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