現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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23: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/10/19(土) 20:26:01.58 ID:ti2BclkQ

>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。

>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？

ここ、下記 松田　修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ

これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです

これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です

（参考）
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/
Matsuda’s Web Page 松田　修　
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/Tebooks.html
TSUYAMA E-MATH BOOKS
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galios.pdf
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大

定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略

https://gihyo.jp/dp/ebook/2019/978-4-297-10628-7
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之　著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。

第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/23

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