現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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789: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 18:35:02.77 ID:aIAMZK1h

>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
＞スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない

数学では、”「自明すぎるから誰も問題にしていない”ということはない
自明と思えることでも、必ずだれかが、言及している
見つかりましたよ

下記ですよね
”ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]”
「有限群は離散位相に関して射有限である」から、上記のウォーターハウスの定理ですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群
(抜粋)
例
・有限群は離散位相に関して射有限である。
・F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。
　この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。
　得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。
　ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、
　このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。
　事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。
　このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。

・代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。
　これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、
　代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。

参考文献
1^ William C. Waterhouse. Profinite groups are Galois groups. Proc. Amer. Math. Soc. 42 (1973), pp. 639?640.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/789

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