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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/
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39: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 06:56:57.13 ID:1gpHuTQE >>38 >これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが >アーベルと、非アーベルに分けて いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。 C_5もC_4もアーベル群だが、（直積ではない）半直積を取ると非アーベル群になるんですよ。 ちなみにこれはC_3とC_2半直積がS_3になってることと類似。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/39
40: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 07:01:04.20 ID:1gpHuTQE S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。 素数次の既約方程式が可解なときそのガロア群がフロベニウス群になることはガロア第一論文に出てくる。 200年前の結果。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/40
41: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 07:08:16.98 ID:1gpHuTQE >>16 可解5次方程式の古い論文見てたら、解の5乗根の中に√17や√65=√5×√13 が現れてる例が載ってたから、やはり予想通り中間体として 1の13乗根や17乗根の部分体を含むケースがあるのだろう。 なので、2項方程式に帰着する？という話は明確に否定される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/41
42: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 07:25:58.42 ID:1gpHuTQE 前スレID:ospgeXvi氏が可解5次方程式を「分類する」という 問題意識を持っていたが、単に分類するだけでは面白くない。 むしろ「パラメトライズする」ような数学構造を見つけることが重要なのでは。 それでたとえば、中間体MとしてQ上ガロア群C_4またはC_2を持つ 任意の体が生じうるか？ とか、生じるなら係数によってどうパラメトライズされるか とかは結構重要に思うが、そういう大事な問題に答えている論文が見当たらない。 つまりまともな数学者からは終わってると看做されている領域で 実際終わってるのかもしれないが、しかし現在新たに書いてるひとたちもいて それはちょっと数学者のレベルではない、100年以上前の話を電子計算などに絡めて蒸し返しているだけの感じ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/42
65: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 17:37:49.31 ID:1gpHuTQE >>53 広い意味でガロア逆問題と言えなくもないですが、ガロア逆問題でもとにかく存在するかを問う問題であれば該当しません。 この場合存在自体は分かってるんですよ。いいですか？ Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4 となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？ という問題です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/65
66: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 17:42:49.56 ID:1gpHuTQE >>54 存在しなさそうな例があるというのは初めて知りました。しかしよく見つけてきますね笑 ま、"Q上"という設定がやや人工的ですからね。 ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かるんですよ。 なぜだか分かりますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/66
67: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 17:48:43.06 ID:1gpHuTQE ガロア逆問題って"解き方"が重要なんであって 逆問題の解でも"質"というのがあるんじゃないかと思う。 つまり、良質な解と、ともかく存在は示せたが応用はないなという解があるんじゃないかと。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/67
80: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/20(日) 19:50:28.96 ID:1gpHuTQE >>77 何を言っているのか分かりません。 ヒント： Q上S_nをガロア群として持つガロア拡大が存在することは比較的簡単に証明される。 一般方程式（係数が不定元）ではなく、数字方程式としてです。 これはガロア逆問題で最も基本的な結果です。 この事実を使ってよいものとします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/80
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