現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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1: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/10/18(金) 21:01:16.43 ID:Zm+yHrIo

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾； ）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/1

18: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/10/19(土) 19:25:01.03 ID:ti2BclkQ

S5の位数20の部分群
https://groupprops.subwiki.org/wiki/General_affine_group:GA(1,5)
General affine group:GA(1,5)
(抜粋)
As GA(1,q), q = 5: q(q - 1) = 5(5 - 1) = 20
As holomorph of cyclic group:Z5: |Z5||Aut(Z5)| = 5・4 = 20
As Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20

Group properties
Function Value
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
Camina group Yes

https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/
Tim Dokchitser Arithmetic/Algebraic Geometry University of Bristol
https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/1/F5.html
G = F5? order 20 = 2^2・5 Frobenius group Tim Dokchitser

https://groupprops.subwiki.org/wiki/General_affine_group_of_degree_one
General affine group of degree one
GA(1,K) = K semix K^*
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%BE%A4
アフィン群

https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group
Frobenius group
(抜粋)
In mathematics, a Frobenius group is a transitive permutation group on a finite set, such that no non-trivial element fixes more than one point and some non-trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.

Structure
A subgroup H of a Frobenius group G fixing a point of the set X is called the Frobenius complement.
The identity element together with all elements not in any conjugate of H form a normal subgroup called the Frobenius kernel K.
(This is a theorem due to Frobenius (1901); there is still no proof of this theorem that does not use character theory, although see [1].)
The Frobenius group G is the semidirect product of K and H:
G=K semix H

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/18

46: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/20(日) 07:57:23.19 ID:f+LcfVi/

>>45
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
Question, Web Fundamentals.svg Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
(more unsolved problems in mathematics)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function

Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group
Permutation group

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/46

51: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/20(日) 09:29:59.52 ID:f+LcfVi/

>>47

無理しなくていいぞ

>位数はｐ（ｐ－１）で非可換群

位数がｐ（ｐ－１）だから非可換とは言えないだろう？

例えば、P=7で、ｐ（ｐ－１）＝42＝7x3x2
と分解して、各巡回群の直積
C7xC3xC2 を考えたら
明らかに、位数42で、アーベルだから

じゃ、位数42で非可換という条件なら？
下記、脇克志 フリーソフトのGAP使えば、すぐ出るらしい（＾＾
そのうちやってみるかｗ

でな
下記wiki”For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. ”ってことよ
「 x→ ax+b」が、ガロア第一論文に出てくる
ガロア第一論文読んでないやつには、分からん話だよ

（参考）
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre/
http://www.math.kobe-u.ac.jp/cm/archive-ja.html
計算による数理科学の展開 (http://www.math.kobe-u.ac.jp/cm)
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/taka/video-ja.html
講義, 講演等のビデオを公開するプロジェクト
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-09-20-sd-waki.html
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志
内容: GAPを利用した有限群論
予備知識: 代数の初歩
ソース: 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学
要約: KNOPPIX/MATH にも収録されている 代数計算ソフト GAPを使った有限群論を教える試みを紹介します。GAPを利用して有限群を実感させる講義を行った時の成功と失敗を通して、教育ツールとしてのGAPの利用方法を考えて行きます。
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-09-20-sd-waki.pdf
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学

https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/51

149: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/22(火) 10:53:50.77 ID:u309yKT7

>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ

それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”

なんてことにはならないでしょ？　なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？

どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

>>46
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%8B%A1%E5%A4%A7
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。

a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/149

176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/24(木) 17:13:36.82 ID:zndIMm6S

>>173
ID:V4UM6AG2さん、どうもスレ主です。

あなたは、かなり勉強されているみたいだから、もう少し教えてもらえますか？

少し、記号を整備しましょう。
下記、ガロア理論の基本定理にならいます。

基礎体F、拡大体E、中間体K、有理数体Q
体の有限次ガロア拡大 E/Fのガロア群 Gal(E/F)
基礎体F上、F係数の一般ｎ次方程式による体の拡大を考えて、拡大体Eが得られたとする
（簡単のために、FはQ上の代数拡大体とする）

Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群）
体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E
　　↓↑（ガロア対応）
群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e}

ここに、GはSnの部分群で、S'はSnを含む群、 {e}は単位元からなる自明な群
（そして、ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、Snを十分大きく取れば、任意の群Gに対して、”Sn⊇ G”成立）

で、あなたは、
体：F ⊆ K ⊆ E
　　↓↑（ガロア対応）
群：Sn⊇ G ⊇{e}
なら、作れるといったわけですよね（>>80）
（体 F、K、E を自由に選んで良いなら、自由度が上がっている？ ）

でも、ガロア逆問題は
体：Q ⊆ K
　　↓↑（ガロア対応）
群：G ⊇{e}
となる体：Q ⊆ K （Q上の拡大体K）が存在するかどうか（あるいは見つける）ですよね（あなたの言葉を借りれば）

そういう理解で良いですかね？
なるほど
しかし、Qに限らないのでは？ 自由度の問題では？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/176

190: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/25(金) 18:50:08.96 ID:xcx18NtP

>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました

"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね

で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
　・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
　・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
　・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
　・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル拡大
　・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら

とか書かれていますね（下記）
イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？

ではまた（＾＾

（参考）
（>>45-46）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。
(抜粋)
フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/190

215: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:03:50.06 ID:fHUQGPHQ

>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か

で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”

類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ

では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦のホームページ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/watanabe-shuron.pdf
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉　崇 2007年修士卒業 東北大学

目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/215

305: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/29(火) 10:59:07.81 ID:wEoW+rwB

コテハンが抜けたか（＾＾
>>300 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Partial results
(抜粋)
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]
(引用終り)

なので、
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”が素直な解釈では？

なお、PSL(2,16):2の何がそんなに難しいのか、さっぱり理解できませんが（＾＾；
[5] PSL(2,16)下記「not solvable, primitive, simple, irreducible, 」か
http://galoisdb.math.upb.de/home A Database for Number Fields
Technische Universitat Kaiserslautern
http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=17
Transitive Groups of degree 17
(抜粋)
G　Name　|G|　|G| fact.　|Z(G)|　Properties of G　#fields
17T6 L(17)=PSL(2,16) 4080 24 ・ 3 ・ 5 ・ 17　1 not solvable, primitive, simple, irreducible, even 3

さらに「"PSL(2,16)" math group」で検索すると
約 77 件 （0.47 秒）ヒットで

TOPが下記
https://www.researchgate.net/publication/297674664_A_New_Characterization_of_PSL2_q_for_Some_q
ResearchGate
A New Characterization of PSL(2, q) for Some q
Article (PDF Available)?in?Ukrainian Mathematical Journal 67(9) ・ March 2016?with?163 Reads?
Alireza Khalili Asboei
15.16University of Farhangian
seyed sadegh Salehi
10Islamic Azad University - Babol
Ali Iranmanesh
35.9Tarbiat Modares University
Download full-text PDF
https://www.researchgate.net/profile/Alireza_Asboei/publication/297674664_A_New_Characterization_of_PSL2_q_for_Some_q/links/5c949519299bf111693e526e/A-New-Characterization-of-PSL2-q-for-Some-q.pdf
(抜粋)
3.1. Characterizability of the Group PSL(2, 16) by NSE. Let G be a group such that
nse (G) = nse (PSL(2, 16)) = {1, 255, 272, 544, 1088, 1920}.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/305

310: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/29(火) 17:11:16.31 ID:wEoW+rwB

>>309 補足

degree 18、19のリストから下記抜粋
リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった
でも、なにか規則があるかもしれない

確かに、17T7の#fields＝0は例外で
degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった
そして、おそらくこの表は、コンピュータの計算結果でしょう（数字の桁が大きいから）
多分、「17T7の#fields＝0」も、”コンピュータの計算結果では”という注釈付きで、証明がないのでは？（＾＾；

http://galoisdb.math.upb.de/groups?
Transitive Groups
Groups are ordered by their degree. Click on one of the boxes below to choose the displayed degree.

http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=18
Transitive Groups of degree 18
(抜粋)
G　Name　|G|　|G| fact.　|Z(G)|　Properties of G　#fields
18T377 　PSL(2, 17) 　2448 　24 ・ 32 ・ 17　1 　not solvable, primitive, simple, irreducible, even 　1
18T897 　t18n897 　508032 　27 ・ 34 ・ 72　1 　not solvable, irreducible 　1
18T938 　t18n938 　1524096 　27 ・ 35 ・ 72　1 　not solvable, irreducible 　2
18T952 　t18n952 　4572288 　27 ・ 36 ・ 72　1 　not solvable, irreducible 　2
18T982 　Alt(18) 　3201186852864000 　215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17　1 　not solvable, primitive, simple, irreducible, even 　3　
18T983 　Sym(18) 　6402373705728000 　216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17　1 　not solvable, primitive, irreducible 　55

http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=19
Transitive Groups of degree 19
(抜粋)
G　Name　|G|　|G| fact.　|Z(G)|　Properties of G　#fields
19T5　F171(19)=19:9　171　32 ・ 19　1　solvable, primitive, semiabelian, even　1
19T7 　A19 　60822550204416000 　215 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19　1 　not solvable, primitive, simple, irreducible, even 　8
19T8 　S19 　121645100408832000 　216 ・ 38 ・ 53 ・ 72 ・ 11 ・ 13 ・ 17 ・ 19　1 　not solvable, primitive, irreducible 　42

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/310

335: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/01(金) 07:57:00.74 ID:rcKeDs9u

>>334 追加
https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini
Corps fini
(抜粋)
4 Histoire
4.1 Congruences et imaginaires de Galois
4.3 Applications theoriques
（google 英訳）
History
The theory of finite fields first develops, like the study of congruences, on integers and on polynomials, then from the very end of the nineteenth century, as part of a general theory of commutative bodies.

Congruences and imaginations of Galois
The study of the first finite fields is systematically treated, in the form of congruences, by Gauss in his Disquisitiones arithmeticae published in 1801,
but many of these properties had already been established by Fermat, Euler, Lagrange and Legendre, among others.

In 1830 Evariste Galois published28 what is considered as the founding article of the general theory of finite bodies. Galois, who claims to be inspired by Gauss's work on entire congruences, deals with polynomial congruences, for an irreducible polynomial with coefficients taken themselves modulo a prime number p.
More precisely, Galois introduces an imaginary root of a congruence P (x) = 0 modulo a prime number p, where P is an irreducible polynomial modulo p. He notes i this root and works on expressions:
a + a1 i + a2 i2 + ... + an-1 in-1 where n is the degree of P.

Retraduced in modern terms, Galois shows that these expressions form a cardinality body pn, and that the multiplicative group is cyclic (Kleiner 1999,).
He also notes that an irreducible polynomial that has a root in this body, has all its roots in it, that is, it is a normal extension of its first subfield ( Lidl and Niederreiter 1997).
He uses the identity given by what has been called since the Frobenius automorphism (Van der Waerden 1985).
In 1846, Liouville, at the same time as he published Galois' famous memoir on the resolution of polynomial equations, republished this article in his Journal of Pure and Applied Mathematics.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/335

375: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 10:29:23.42 ID:ZLEqKHqI

>>325
(引用開始)
「qを有限体の位数として
　PSL(2,q)はP1(Fq)への推移的な作用で
　P1(Fq)の位数はq+1だから
　PSL(2,q)はq+1次対称群に埋め込める」
が正しい
(引用終り)

多分、私の文献コピペの意図が分からなかったと思うが
”とりなきさとのこうもり”さんの上記の検証をしていたんだ
当方は、有限体は、あまり知識がなかったのでね
文献を漁っていたんだ

”こうもり”さんのは、下記引用が該当するな
・Projective linear group Finite fields Action on projective line
　Some of the above maps can be seen directly in terms of the action of PSL and PGL on the associated projective line:
　PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (qn?1)/(q?1) points,
　and this yields a map from the projective linear group to the symmetric group on (q^n?1)/(q?1) points.
　For n = 2, this is the projective line P1(q) which has (q^2?1)/(q?1) = q+1 points,
　so there is a map PGL(2, q) → Sq+1.
・The order of PGL(2, q) is
　 (q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);
　the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).

なので、正確には
・PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (qn?1)/(q?1) points
・PSL(2, q) →PGL(2, q) → Sq+1
・The order of PGL(2, q) is
　 (q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1)
・the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
が正解だな

いや、”とりなきさとのこうもり”さんの 回答としては、決して間違いではないですよ（＾＾；

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group
Projective linear group
(抜粋)
4 Finite fields
4.1 History
4.2 Order
4.3 Exceptional isomorphisms
4.3.1 Action on projective line
4.3.2 Action on p points

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/375

376: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/02(土) 10:30:30.40 ID:ZLEqKHqI

>>375
つづき

Action on projective line
Some of the above maps can be seen directly in terms of the action of PSL and PGL on the associated projective line:
PGL(n, q) acts on the projective space Pn?1(q), which has (q^n?1)/(q?1) points,
and this yields a map from the projective linear group to the symmetric group on (q^n?1)/(q?1) points.
For n = 2, this is the projective line P1(q) which has (q^2?1)/(q?1) = q+1 points,
so there is a map PGL(2, q) → Sq+1.
To understand these maps, it is useful to recall these facts:
・The order of PGL(2, q) is
　 (q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);
the order of PSL(2, q) either equals this (if the characteristic is 2), or is half this (if the characteristic is not 2).
・The action of the projective linear group on the projective line is sharply 3-transitive (faithful and 3-transitive), so the map is one-to-one and has image a 3-transitive subgroup.
Thus the image is a 3-transitive subgroup of known order, which allows it to be identified. This yields the following maps:
・PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S3, of order 6, which is an isomorphism.
　・The inverse map (a projective representation of S3) can be realized by the anharmonic group, and more generally yields an embedding S3 → PGL(2, q) for all fields.
・PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S4, of orders 12 and 24, the latter of which is an isomorphism, with PSL(2, 3) being the alternating group.
　・The anharmonic group gives a partial map in the opposite direction, mapping S3 → PGL(2, 3) as the stabilizer of the point ?1.
・PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5, of order 60, yielding the alternating group A5.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/376

395: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/03(日) 07:36:52.30 ID:apiWSBWV

>>305
ガロア逆問題で
” the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be be realizable over Q.”
を考えていたんだ
なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？
PSL(2,16):2とは何か？

最初は、PSL(2,16):2は、PGL(2,16)のことかなと考えていたのだが、
下記
17 7 8160 で、”<PZL(2,16)”などと書かれたりして、なんか違うみたい
18 では、 1 2448 PSL(2,17) 、 2 4896 PGL(2,17) で、話は合うのだが
（因みに、PGL(2,16)は位数4080で、2448 （PSL(2,17)）と位数の大小が逆転している）

（参考）
https://conf.math.illinois.edu/Software/magma/text76.html
Database of Primitive Groups
(抜粋) （表が崩れているので、原文の表見て下さい）
Deg | No | Order | t |+/-| Fr. | N | G(n) | G^(t) orbs | Comments
17 | 1 | 17 | | | | - | | | 17
| 2 | 34 | | | * | 17G1 | | 1,2^8 | D(17)
| 3 | 68 | | | * | 17G1 | | 1,4^4 | 17:4
| 4 | 136 | | | * | 17G1 | | 1,8^2 | 17:8
| 5 | 272 | s2 | - | * | 17G1 | | | AGL(1,17)
| 6 | 4080 | s3 | | | - | 16G3 | | PSL(2,16)
| 7 | 8160 | 3 | | | 17G6 | 16G6 | 1^5,2^6 |<PZL(2,16)
| 8 | 16320 | 3 | | | 17G6 | 16G10| 1^3,2,4^3 | PYL(2,16)
| 9 | 17!/2 | s15p | | | - | 16G21| | A(17)
| 10 | 17! | s17 | - | | 17G9 | 16G22| | S(17)
18 | 1 | 2448 | 2p | | | - | 17G4 | 1^2,8^2 | PSL(2,17)
| 2 | 4896 | s3 | - | | 18G1 | 17G5 | | PGL(2,17)
| 3 | 18!/2 | s16p | | | - | 17G9 | | A(18)
| 4 | 18! | s18 | - | | 18G3 | 17G10| | S(18)
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/395

447: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/03(日) 21:51:19.24 ID:apiWSBWV

>>446 追加

情報幾何の生い立ち 甘利 俊一
https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/11/3/11_KJ00005768851/_pdf
応用数理 2001
フォーラム
応用数理の遊歩道（26）
情報幾何の生い立ち
甘利 俊一
1 情報幾何の始まるまで
私にとっては，情報幾何は大学院修士課程の2
年のときに始まる．大学院に入ったころは，独学
でSchoutenの微分幾何の本（Ricci Calculus），
van der Waerden の Modern Algebra，それに
LefschetzのAlgebraic Topologyを読んでいた．
分からなくなると先輩の伊理正夫氏にしつこく聞
いたものである．しかし，講義の単位もある程度
は取らないといけない．こうして出席したのが，
統計学輪講であった．ここで，若き竹内啓氏が，
折しも出版されたKullbackのInformation and
Statisticsの紹介を始めた．そこでは二つの確率
分布の間にかの有名なKLダイバージェンスとい
う擬距離が提案されている．ところで，二つの分
布が近いときには，これはFisherの情報行列を
用いた2次形式で表せる．これはリーマン計量で
はないかと言ったのが森口繁一教授であった．
これは実はRaoのアイディアである．Raoは，
統計学の基礎として，リーマン空間の重要性に気
が付いた．その論文は，CulcattaJournalof
Mathematicsに1945年に発表された．後に
Cramer?Rao の定理と呼ばれる統計学の基本定
理もこの同じ論文に書かれている．
私は，この輪講のレポートとして，正規分布の
なす2次元の空間を取り上げ，リーマン計量（Fi?
sher 情報行列）を計算してみた．また，測地線や
曲率を計算した．程よい演習問題である．ところ
が，これが負の定曲率空間，すなわちボヤイとロ
バチェフスキーの考えた非ユークリッド空間にな
るのを知って，いたく感激した．このきれいな構
造の背後にあるものはなんだろう．また，確率分
布族の曲率は，統計学にとってどのような役割を
担っているのだろうか．
それ以後，私は多くの人にこの話をした．これ
が刺激となって吉沢正氏や滝山竜三氏の仕事が生
まれた，しかし自分では満足な仕事は何もできな
かった．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/447

462: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/04(月) 17:47:37.21 ID:Qu1TcOyQ

>>421
>PSL(2,16):2 が、なにか、ガロア逆問題から見て、特別な存在なのでしょうね

ちょっと検索でヒットしたので貼る（＾＾
この ”Multi-parameter polynomials”が面白いと思った
例えば、”5. The group PGL2(7)”は、ガロア逆問題は解けているみたい

https://www.mathematik.uni-kl.de/agag/personen/leitung/
Technische Universitat Kaiserslautern
https://www.mathematik.uni-kl.de/~malle/de/publications.html
Prof. Dr. Gunter Malle Veroffentlichungen
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-55420-3
136 (mit B. H. Matzat): Inverse Galois Theory. 2nd Edition. Springer Verlag (2018), xvii + 533 pp., (MR3822366).
https://www.mathematik.uni-kl.de/~malle/download/pargal.pdf
55 Multi-parameter polynomials with given Galois group. J. Symbolic Comput. 30 (2000), 717-731, (MR 2002a:12007).
GUNTER MALLE FB Mathematik, Universit¨at Kassel, Heinrich-Plett-Str. 40, 34132 Kassel, Germany
(抜粋)
We present a collection of multi-parameter polynomials for several mostly non-solvable
permutation groups of small degree and describe their construction. As an application we
are able to obtain totally real number fields with these Galois groups over the rationals,
for example for the two small Mathieu groups M11 and M12.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/462

464: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/04(月) 17:48:17.27 ID:Qu1TcOyQ

>>463
つづき

5. The group PGL2(7)
Theorem 5.1. The polynomial
f(a, t, X) := X(X^7 + X^6 + 14aX^5 + 7aX^4 + 49a^2X^3 + 14a^2X^2 + 49a^3X + 7a^3)+t(7X^2 + X + 1)
has Galois group PGL2(7) over Q(a, t). The branch cycle description with respect to t is
of type (2^3, 2^3, 2^3, 6).

Remark. The polynomial f in Theorem 5.1 has totally real specializations; for example,
if a = ?2 and ?1 ? t ? 6. One example of a totally real PGL2(7) polynomial is given by
X^8 ? 2 X^7 ? 35 X^6 + 308 X^4 + 308 X^3 ? 462 X^2 ? 556 X + 6.
The field extension with group L3(2) constructed by LaMacchia (1980) is embeddable
into a PGL2(7)-field. Since PGL2(7) does not have a faithful permutation representation of degree 7, a stem field of that Galois extension will have degree 8. A generating
polynomial is given by:

Theorem 5.2. The polynomial
f(a, t, X) := (X^2 ? 4 (16 a ? 3) b) (X^3 + 4 b X^2 ? 2 X (16 a ? 3) b ? 4 (16 a ? 3) b^2)2
? t(2X^5 + (8 a^2 ? 24 a ? 31)X^4 ? 4(40 a + 17)bX^3 ? 4(16 a ? 3)
(6 a^2 ? 20 a ? 29)bX^2
+ 32 (88 a^6 ? 497 a^5 ? 302 a^4 + 114 a^3 + 854 a^2 ? 9 a ? 18) X + 16 (64 a^8 ? 2672 a^7
+ 2906 a^6 + 550 a^5 + 3466 a^4 ? 118 a^3 ? 2731 a^2 + 366 a ? 90))
+ t2(X^2 ? 4 (2 a ? 1) X + 4 (31 a^2 ? 4 a + 1))
(where b := a^2 ? 2 a ? 1) has Galois group PGL2(7) over Q(a, t). The branch cycle
description with respect to t is of type (2^4, 2^4, 2^3, 6).
The polynomial f(a, t2, X) has Galois group L2(7) over Q(a, t), with branch cycle description of type (2^4, 2^4, 2^4, 2^4, 3^2) with respect to t.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/464

552: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/07(木) 11:05:55.33 ID:VuRpBVJ9

おサルの妄言は、ムシ無視ｗ（＾＾；

>>551
おっちゃん、どうも、スレ主です。
アク禁くらってました（＾＾；

レスありがとう

＞スレ主はソロバン塾に行ったことないのか？

ないね

＞ソロバン塾では、開平法に限らず、正の実数の3乗根の近似値を求める開立法位はやっていると思う。

開立法があるというのは、聞いたのは高校くらいだったなか？
ソロバン塾で”開立法”は、初耳だな

＞本を読むとき、書いてある近似値や数値が或る程度の桁まで正しいかどうかの確認は、
＞基本的には手計算や不等式を立てるなどしたりして行うことになる。
＞書いてある近似値や数値の細部の値はともかく、大きな見積もりの値で間違っていたら、これまた本の誤植があることになる。

同感だな
工学では、よく言われる
３ケタの数字で、１ケタ目は間違えても良いが、大きな位の数で間違うとダメとか
そこが間違っているときに、気付けないやつはダメとか

（初期値の入力ミスなどで、アウトプットが狂ったときに、”それくらい大きな誤差（例えば桁ずれとか）なら当然気付くべき”とはよく言われた。）
そこらは、数学屋さんとのセンスの違いだな

些末な差は、ねぐって良い。枝葉末節は落として、本質を見るってことね
（現代社会では、ある程度ブラックボックスを受け入れないと、暮らしていけないよね。数学だって。全部自分で証明確認しないと進めないという性格の人はかわいそう。
　もちろん、自分が書いた論文で、既存の結果にプラスした部分は、厳密な証明を求められるよ。
　でも、既存の結果の証明のフォローで一生終えたいのか？　
　おそらく21世紀の数学に届かないでしょ。20世紀の中頃で終わりそうだな（＞おサルはｗ（＾＾； ））

（数学屋さんは、文系の経理屋に似ているのかも。
　1円の桁まで合えば、”ごめいさん”なのでしょう。
　昔、銀行で言われたらしいね。1円合わないと、合うまで帰れないとか）

＞ガウスは、素数の判定の数値計算を手計算でするのが趣味だったようで、行った手計算の結果から素数定理を予想したそうだ。

パスカルは、機械式の計算機を発明したそうだ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/552

561: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/07(木) 14:34:16.90 ID:VuRpBVJ9

高尾山、東京都民の山として親しまれている。庶民が楽しむのは、このレベルだろう
富士山、昔（貞観17年 875年）に人が昇ったららしい。ガウス、アーベル、ガロアは、このレベルだろうか？
　いま、車で5合目で行って、あと整備された登山道を登れば良い。いまどき、ふもとから登る人は少ない
エベレスト、まあ、数学でいえば、最先端かも。このクラスになると、単独無酸素登頂など、無謀と言われるかもね
　いいじゃない、大勢の人の助力があり、ベースキャンプ作って、酸素ボンベの助けを借りて
（数学で言えば、酸素ボンベはコンピュータとソフトかな。複数の共著で）

おサルは、車で、あるいはドローンで、頂上の様子の話をすると
おサルは、３合目で、おまえは３合目が理解できていない
それは、伝統的な数学の勉強法ではないという

「伝統的な数学の勉強法」とは、平地から一歩一歩、自分の足で登山すること
おれは、エベレスト級でそれをやったら、途中までいければ良い方で、下手すると命を落とすよと
ドローン使えよ、酸素使えよ、車使えよ、ベースキャンプ作って、複数人からなるチーム作れ・・ということよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E5%B0%BE%E5%B1%B1
高尾山（たかおさん[2]）は、東京都八王子市にある標高599mの山である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E5%B1%B1
富士山 標高3776.24 m
貞観17年 875年　平安時代の学者である都良香が『富士山記』の中で山頂火口のさまを記す。
　山頂には常に沸き立つ火口湖があり、そのほとりに虎の姿に似た岩があるなど、実際に見た者でなければ知りえない描写から、実際に登頂したか、または登頂した者に取材したと考えられる。
　なおこの約10年前には山頂噴火ではないが有史最大の貞観大噴火があった。
平成20年 2008年 皇太子徳仁親王が登頂。 8月7日に富士宮口を出発後、御殿場口登山道に入り登頂[55]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/561

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