現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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499: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/04(月) 20:38:05.98 ID:Qu1TcOyQ

>>498

つづき

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https://www.researchgate.net/profile/Dean_Yates/publication/320835842_The_Inverse_Galois_Problem_4th_year_project/links/59fc9ddf458515d070654852/The-Inverse-Galois-Problem-4th-year-project.pdf
(抜粋)
6. Table of finite groups realisable over Q
We will now bring together results from the preceding sections to form a table of finite
groups G that can be realised as Galois groups of rational polynomials and their corresponding
generic polynomials: [16]
G G-polynomial over Q generic polynomial for G
V4 (t^4 + 1) (t^2 - x)(t^2 - y)
Cn Φn(t) exist iff. 8 - n
Sn -15f1 + 10f2 + 6f3 (c.f. theorem 3.3) t^n + an-1t^n-1 + + a1t + a0
S4 t^4 + 16t^3 - 4t^2 + 3t - 11 t^4 + xt^2 + yt + y
An p(x; t) (c.f. theorem 4.5) unknown
A3 t^3 - 3t + 1 t^3 - xt^2 + (x - 3)t + 1
A4 t^4 - 2t^3 + 2t^2 + 2 F((x; y); t) (see below)
Dn unknown in general exist iff. 4 - n
D8 t^4 - 2 t^4 - 4xt^2 + y
D10 t^5 - 5t^2 - 3 t^5 + (y - 3)t^4 + (x - y + 3)t^3+(y2 - y - 2x - 1)t^2 + xt + y
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/499

705: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 14:54:27.98 ID:aIAMZK1h

>>704
つづき

6 おわりに: 実際に研究するに当たって
本書の前半部を終えた読者は, 例えば「4 次平面曲線の外ガロア点」「5 次平面曲線の内
ガロア点」を研究することができる. 本書により射影を計算できるため, 後はガロアかど
うかの判定をすれば良いわけであるが, その拡大が 4 次であれば, それを判定する手段は
ガロア理論の多くのテキストに掲載されている. 実際に, これまでの深澤研究室の修了生
のうち数名がこれらの内容で修士論文を書いた.
本書の後半部まで終えられた読者は, ガロア点研究を行える知識を概ね得ていると言え
る. ガロア点配置を特定するにはガロア被覆の基本的な性質 (定理 4.7.11) が有効である.
このなかの「分岐が整う」という性質を使ってガロア点の位置を特定する作業は「ガロア
点研究の感覚」を養うのに役立つ. 本書では「ガロア点を 2 つ登場させる」という結果
を紹介し,「それ以外にない」という結果に Weierstrass 点を使った議論を紹介している.
「それ以外にない」という方向で本書で述べ切れていない可能性があるのは,「変曲点の個
数上限」だけである. 多くの場合, ガロア点一つに対して変曲点がたくさん必要となるた
め, この上限は大変便利である. 変曲点に関しては, [22] を参考にするとよい.
ガロア点の未解決問題集 [27] には 70 問近くの問題が掲載されているので, 一読をお薦
めする. この問題集の中のどれかを解ければ, 論文にできるであろう.
主観ではあるが, ガロア点理論の発展として「標数零において, 内ガロア点は最大で 4
個, 外ガロア点は最大で 3 個」という予想が解かれることが大変重要であると思う. 問題
の解決自体もそうであるが, それ以上に, 解かれる過程で良いアイデアや手法が提案され,
それが確立されることが望ましい. 現在でも良い手法が揃ってきており, 個人的には遅く
とも 2026 年頃には解かれるのではないかと予想している. 一方, もし読者が「変曲点」や
「Weierstrass 点」以外のテクニックを使って, ガロア点の個数を確定できたならば, それ
は新たな手法を見つけられた可能性が高い. むしろそのような新発見が, ガロア点理論の
発展には必要かもしれない. 挑戦を求む!

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/705

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