現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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267: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/27(日) 12:33:18.76 ID:EUeYkluT

つづき

This intuition also serves to define ramification in algebraic number theory. Given a (necessarily finite) extension of number fields F / E, a prime ideal p of OE generates the ideal pOF of OF.
This ideal may or may not be a prime ideal, but, according to the Lasker?Noether theorem (see above), always is given by

pOF = q1e1 q2e2 ... qmem
with uniquely determined prime ideals qi of OF and numbers (called ramification indices) ei. Whenever one ramification index is bigger than one, the prime p is said to ramify in F.

The connection between this definition and the geometric situation is delivered by the map of spectra of rings Spec OF → Spec OE. In fact, unramified morphisms of schemes in algebraic geometry are a direct generalization of unramified extensions of number fields.

Ramification is a purely local property, i.e., depends only on the completions around the primes p and qi. The inertia group measures the difference between the local Galois groups at some place and the Galois groups of the involved finite residue fields.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/267

601: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 08:31:51.76 ID:9JDZmqGe

>>591
モノドロミーじゃね？（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC
モノドロミー

モノドロミー (monodromy[1]) は、解析学、代数トポロジー、代数幾何学や微分幾何学の観点から特異点の周りで対象がどのように振舞うかを研究する。
名前が意味しているように、モノドロミーの基本的な意味は、「ひとりで回る」という意味である。被覆写像と被覆写像の分岐点への退化とは密接に関係している。
モノドロミー現象が生ずることは、定義したある函数が一価性に失敗することを意味し、特異点の周りを回る経路を動くことである。このモノドロミーの失敗は、モノドロミー群を定義することによりうまく測ることができる。
モノドロミー群は、「回る」ことに伴い起きることをエンコードするデータに作用する群である。

目次
1 定義
2 例
3 複素領域での微分方程式
4 位相的側面と幾何学的側面
4.1 モノドロミー亜群と葉層
5 ガロア理論を経由した定義

例
これらのアイデアは、まず複素解析の中で明らかになった。解析接続の過程では、穴あき複素平面 {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}{\mathbb {C}}\setminus \{0\} のある開集合 E で解析函数 F(z) であるような函数は、E の中に戻ってきたとき、異なる値となるかも知れない。たとえば、

F(z) = log z
E = {z ∈ C : Re(z) > 0}
とすると、円

|z| = 0.5
を反時計回りに回る解析接続は、F(z) ではなく、

F(z) + 2πi
となる。

この場合、モノドロミー群は無限巡回群であり、被覆空間は穴あき複素平面の普遍被覆である。この被覆は、ρ > 0 とした場合に、ヘリコイド（英語版）(helicoid)として視覚化できる。明白な方法で螺旋を潰して穴あき平面を得るという意味で、被覆写像は垂直射影である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/601

775: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 17:49:08.76 ID:aIAMZK1h

>>704 追加引用

(例えば標数零のフェルマー曲線は, ガロア点を曲線の外に 3 個もつ非特異
平面曲線として特徴づけられる). このように「代数多様体の分類の観点」を与えているこ
とが代数幾何におけるひとつの重要な貢献であると思われる. また最近では, 正標数の代
数曲線の重要なクラスに必ずと言っていいほどガロア点が関係していることがわかってき
た. さらに, 有限体上の有理点や代数幾何符号との関連があり, ガロア点の登場する領域は
代数幾何の範囲をすでに越えている.
代数幾何の基礎をマスターしていれば, ガロア点の定義とガロア点理論の基本問題は理
解できよう. 予備知識が多く必要とされる代数幾何においては, これは極めてまれなケー
スである. したがって, 修士論文の題材に適している. 優秀な学生なら, 学部 4 年生の段階
でこの問題と向き合えるかもしれない. 深澤が山形大学に赴任してから, ガロア点を題材
に修士論文を書く学生を数名送り出してきたが, そこで不満に思っていたのが「ガロア点
の定義を一切の妥協なしに理解する」ことが予想以上に難しいことである. (多くのテキス
トで採用されている) 代数幾何の入門の内容とガロア点の定義に必要な知識はちょっとだ
けずれていて, このギャップを埋めるのが案外と難しいのである. 但しここでは, 修士号を
取得して社会に出ていく一般レベルの大学院生を想定している. もしかしたら上記の発言
は, 研究者を目指す優秀な学生には奇妙に映るかもしれない. 優秀な学生は教員が何も言
わなくとも, そういったギャップを自分で埋めてくるのである. したがって前半部は, そ
のギャップを埋めるためのものであり, 修士論文を書いて社会へ出ていく一般大学院生の
ための入門, と言える. より詳しくガロア点以外の内容を述べれば, Shafarevich [19, I.1,
I.2] をベースに, 射影双対性とそれに必要な導分,「射影」に関するいくつかのリマーク,
というものである. 代数幾何の入門書をいくつか並べればこれらは包含されることと思う
が, 一冊の中にこれだけ少ないページ数で収まっているものは見当たらないと思われる.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/775

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