現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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170: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/24(木) 07:55:14.12 ID:G70Rid0Q

>>168
ID:9DQGDl/5さん、どうも。スレ主です。
夜遅く、回答ありがとう

さて、ガロア理論で、体のガロア拡大とガロア群の対応を考えるとき
・体のガロア拡大は、正規かつ分離
・拡大体と群のガロア対応は、あきらかに包含関係を逆にしている
この２つは、重要だよね
（下記「ガロア理論の基本定理」及び「ガロア理論」）

で、定義を聞いた

>>165で
ガロア対応は、”H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H”ですね
こちらが、合っている

ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
逆に、ある群Hが与えられたときに、
群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
必ず存在するかどうか
それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）

で、念押しだが現代数学の「ガロア理論の基本定理」（ガロア対応）は、基礎体k（下記ではF）に依存しないでしょ？
基礎体は、Qに限定されない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。

定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
(抜粋)
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/170

222: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:09:19.12 ID:fHUQGPHQ

>>221
つづき

以下まず類構造の一般論
を述べ(§1),Kummer拡大およびρ 拡大
(§2),および古典的代数函数体(§3)の場合に
あてはめる.次にWei1[17]が整数論において考
察したいわゆるWei1群の理論を一般の類構造
において論し(§4),これを古典的代数函数体の
不分岐拡大の場合に適用する(§5).さらにWei1
[17]で示唆された普遍Weil群の理論を,代数
函数体の場合に考察する(§6).'以上の考察から
さらに新な問題に直面する。最後にそれらについ
て述べたい.

§7.結び
(i)類体論は,数学における最も美しい理論
の一つとして,その理論の構成にも,証明におい
ても,種々の改良が企てられていることは初めに
述べた。もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
　しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこ
る.例えば,Kummer体の場合にせよ,代数函
数体の場合にせよ,A(k)は或る群の指標群の形
でかなり自然に導びかれている。一方(例えば)局
所類体論ではA(k)=k*であるが,何故にA(k)
としてk*を取るかという解釈がほしいものであ
る.またKummer体などの場合に公理F5は
二つの完全系列によつて簡単に証明される。しか
るにF5の証明は,類体論において極めて厄介で
ある.(局所)類体論の証明において,いま一段の
簡易化はできないものであろうか?
また代数数体においても,普遍Wei1群WΩ,k
を構成することはできるが,それの構造は簡単な
ものとはいえない.§6,定理13に対応して,
WΩ,kの簡単な意味づけはできないものであろう
か?

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/222

613: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 16:44:18.12 ID:nN7QsxvT

>>608
＞モノドロミーの歴史（だれがいつ？）を調べていたのだが

追加
https://arxiv.org/abs/1507.00711
Monodromy and normal forms
Fabrizio Catanese (Universitaet Bayreuth)
(Submitted on 2 Jul 2015)
https://arxiv.org/pdf/1507.00711.pdf
MONODROMY AND NORMAL FORMS
FABRIZIO CATANESE
Abstract. We discuss the history of the monodromy theorem,
starting from Weierstras, and the concept of monodromy group.
From this viewpoint we compare then the Weierstras, the Legendre and other normal forms for elliptic curves, explaining their
geometric meaning and distinguishing them by their stabilizer in
PSL(2, Z) and their monodromy. Then we focus on the birth of
the concept of the Jacobian variety, and the geometrization of the
theory of Abelian functions and integrals. We end illustrating the
methods of complex analysis in the simplest issue, the difference
equation f(z) = g(z + 1) ? g(z) on C.

Introduction
In Jules Verne’s novel of 1874, ‘Le Tour du monde en quatre-vingts
jours’ , Phileas Fogg is led to his remarkable adventure by a bet made
in his Club: is it possible to make a tour of the world in 80 days?
Idle questions and bets can be very stimulating, but very difficult
to answer when they deal with the history of mathematics, and one
asks how certain ideas, which have been a common knowledge for long
time, did indeed evolve and mature through a long period of time, and
through the contributions of many people.
In short, there are three idle questions which occupy my attention
since some time:

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/613

704: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 14:53:33.12 ID:aIAMZK1h

http://hyoshihara.web.fc2.com/
pdate 2019.11.01,
The revised version of "Text of Galois Point" is uploaded.
We state the outline of concept of Galois point and Galois embedding. Then we
present the results of related research and make questions public on the internet.
What is Galois point?
Open Questions
Workshop
Symposium
Text of Galois Point
Report, abstract, preprint, ...
Links

http://hyoshihara.web.fc2.com/GPtext.pdf
Text of Galois Point
ガロア点理論入門 2018 年 12 月 17 日
深澤　知, 東根　一樹

1 本書の概要
本書は「平面曲線のガロア点」に関する入門書であり, ガロア点研究に取り組むために
必要な事項についてまとめている. 2 つの研究レベルに対応して 2 つの目的がある. 第一
の目的はガロア点を研究する最低条件, つまり「ガロア点の定義」に少ない知識でたどり
着くことである. 第二の目的は, ガロア点研究の第一線に立つために必要な (かつミニマム
な) 知識を網羅することである. 第一の目的は前半部 (2, 3 章) で達成され, 深澤の山形大
学大学院での講義ノートが基になっている. 第二の目的は後半部 (4, 5 章) で達成され, 第
2 著者である東根一樹君の修士論文 [9] を基にしている.
平面曲線のガロア点とは, 射影平面内の「点」からの射影により誘導される関数体の拡
大がガロア拡大となるときに, その射影の中心点のことを言う. この概念は, 代数多様体の
関数体の研究を目的に, 1996 年に吉原久夫氏により導入された. ガロア点の魅力はたくさ
んあるが例えば, ガロア点理論の基本問題「ガロア点はいくつあるか？」という問題は面
白そうだ, と即座に理解していただけるのではないだろうか.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/704

914: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/12(火) 07:19:21.12 ID:bgnQJNQo

>>908
まず訂正

誤：おまえ確率論・確率過程論に全く入ってくれなかったよな
　↓
正：おまえ確率論・確率過程論に全く入ってこれなかったよな

>>847
>時枝不成立を名言した大学教員
>　該当者無し

まず添削
名言
↓
明言
な（＾＾

で、数学では、査読のある専門誌に載った定理のみが、成立するとして信頼して良いってこと
査読雑誌に載らないのはだめだよ
（あと、古典で標準教科書に載る定理も可だ）

例えば、IUTはいまだ査読のある専門誌に掲載されない
ペレルマンの三次元ポアンカレ予想解決は、arXivに投稿された（後述）
これを、皆で勝手査読して正しいとして、フィールズ賞を出した。受取らなかったが

時枝問題は、皆無
お遊びホームページと査読のない数学セミナー誌のみ

時枝は、数学セミナーの記事後半で、前段を否定している
１）計量ができないのに、99/100を導きました
２）確率変数の独立と、99/100とは矛盾しています
という

おサルは、前段のみを採用し、
後段は時枝の間違いか無関係とのたまう

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3
グリゴリー・ペレルマン
(抜粋)
ペレルマンとポアンカレ予想
arXiv で以下の3つのプレプリント (Preprint) を発表し、ポアンカレ予想を解決したと宣言した。
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002年11月11日
Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003年3月10日
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003年7月17日

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/914

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