[過去ﾛｸﾞ] 代数幾何を勉強するためのスレッド (1002ﾚｽ)
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511: 2020/03/28(土)23:19 ID:G6R/m2oc(1/6) AAS
100日後にスキーム論をマスターするワニ　3日目

R: 環
S⊂Rは、s, t∈S⇒st∈Sを満たすものとする
このような部分集合を積閉集合と呼ぶ

S^(-1)R := { a/s; s∈S }/〜
a/s〜a'/s' :⇔ ∃t∈S; t(as' - a's) = 0

これを、RのSによる局所化という

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512: 2020/03/28(土)23:26 ID:G6R/m2oc(2/6) AAS
R: 環
P⊂R: 素イデアル

f∈R
S := { f, f^2, f^3, ... }
RのSによる局所化を、Rのfによる局所化と呼び、R_fで表す

S := R＼Pは積閉集合
RのSによる局所化を、RのPによる局所化と呼び、R_Pで表す

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513: 2020/03/28(土)23:29 ID:G6R/m2oc(3/6) AAS
R: 環
S⊂R: Rの非零因子全体
S^(-1)Rを、Rの全商環という

Rが整域なら、Rの全商環は商体

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514(2): 2020/03/28(土)23:41 ID:G6R/m2oc(4/6) AAS
そういえば、環の準同型を定義していなかった

R, S: 環
f: R→Sが、環の準同型であるとは

∀a, b∈R,
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
f(1) = 1
省1

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515: 2020/03/28(土)23:53 ID:G6R/m2oc(5/6) AAS
R, S: 環
R⊂S

s∈Sとする
sがR上整
:⇔ ∃f∈R[X]; fの最高次の係数は1で、f(b) = 0

SのR上整な元全体は、Sの部分環になる。
これを、RのSにおける整閉包という。
省3

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516(1): 2020/03/28(土)23:59 ID:G6R/m2oc(6/6) AAS
R, S: 環
R⊂S

Rが体なら、RのSにおける整閉包も体

UFDは、整閉

以下の(1)-(3)は同値

(1) Rは整閉
(2) Rの任意の素イデアルによる局所化は整閉
省1

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