[過去ﾛｸﾞ] 代数幾何を勉強するためのスレッド (1002ﾚｽ)
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497: 2020/03/28(土)00:09 ID:En0qB0GI(1/8) AAS
R: 環
次の(1)-(3)は同値

(1) Rのイデアルの空でない任意の族は、包含関係に関して極大元を持つ
(2) Rのイデアルの任意の昇鎖 I_1⊂I_2⊂ ... は、あるNがあって、I_N = I_(N+1) = ...となる
(3) Rの任意のイデアルは有限生成

RがNoether環であるとは、上の条件をみたすこと

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498: 2020/03/28(土)00:12 ID:En0qB0GI(2/8) AAS
Noether環の例

PIDはNoether環

Hilbertの基底定理:

R: Noether環
R[X]もNoether環
帰納的にR[X_1, ..., X_n]もNoether環
R[[X]]も、R[[X_1, ..., X_n]]もNoether環

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499: 2020/03/28(土)00:19 ID:En0qB0GI(3/8) AAS
R: 整域

u∈Rが単元
:⇔ ∃r∈R; ru = 1

r∈Rが素元
:⇔ (r)がRの素イデアル

r∈Rが既約元
:⇔
省1

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500: 2020/03/28(土)00:26 ID:En0qB0GI(4/8) AAS
素元は既約元であるが、既約元は素元とは限らない

例

ℤ[√-5] := { a + b√-5; a, b∈ℤ }

において、

(1 + √-5)(1 - √-5) = 2 * 3
省1

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501(1): 2020/03/28(土)00:35 ID:En0qB0GI(5/8) AAS
Rの単元の集合をR^×と書く。
R^×は乗法に関して群になる。

R: 整域

Rが一意分解整域(UFD)
:⇔
∀r∈R＼({0}∪R^×), ∃p_1, ..., p_n∈R: 素元 s.t.
r = p_1 ... p_n

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502(1): 2020/03/28(土)00:40 ID:En0qB0GI(6/8) AAS
R: UFD
r∈R＼({0}∪R^×)

r = p_1 ... p_n = q_1 ... q_m (p_*, q_*: 素元)

とすると、n = mで、適当に順序を入れ替えれば、p_i = u_i q_i (u_i: 単元, i = 1, ..., n)とできる

Rの既約元は素元である

PIDはUFDである

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503: 2020/03/28(土)00:42 ID:En0qB0GI(7/8) AAS
UFDの例

PIDはUFD

R: UFD
R[X]もUFD

UFDじゃない例

ℤ[√-5]

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504: 2020/03/28(土)00:46 ID:En0qB0GI(8/8) AAS
スキーム論をマスターするまであと98日

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