代数幾何を勉強するためのスレッド

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546: １３２人目の素数さん [] 2020/03/30(月) 14:28:30.67 ID:AIUJyRka

>>545
たしかに、教養の線形代数では、テンソル積まで扱うことは少なく、多くの場合、独学しなければならないですね。
さらに、専門書になると、具体的な加群のテンソル積の例などは詳しく述べられないことが普通なのも辛いですね。

テンソル積は、まずベクトル空間で考えるのが分かりやすいでしょう。

kを体、V, Wをkベクトル空間とし、{v_1, ..., v_n}, {w_1, ...w_m}をそれぞれの1つの基底とします。
テンソル積 V ⊗_k Wは、{v_i⊗w_j}_{1≦i≦n, 1≦j≦m}を基底とするベクトル空間です。
単純に、成分を表す添え字が増えただけのものです。そのようなものは、物理や工学で自然に出てきます。

この定義は基底の取り方に依存するため、特定のケースで計算するだけならいいですが、数学的には不便です。
したがって、特定の基底を用いずに、多重線形性によって特徴づけられるもの、要するに、
「v⊗w (v∈V, w∈W)」の形の元の形式和に、以下の関係を導入したものとして定義されます。

・(v + v')⊗w = v⊗w + v'⊗w
・v⊗(w + w') = v⊗w + v⊗w'
・a(v⊗w) = (av)⊗w = v⊗(aw)

これを普遍性を用いて書き直すと、上の定義になります。
普遍性から、存在さえ示されれば一意性は自動的に保証されます。

加群の場合も、定義と構成は全く同様です。
たとえば、1変数多項式環同士のテンソル積は、自然に2変数多項式環と同型になります。

k[X] ⊗_k k[Y] 〜 k[X, Y]
X⊗Y → XY

Kが有限生成k代数(たとえばkの有限次代数拡大体)なら、係数拡大の名の通り、係数をKに取り換えたものと同型になります。

k[X] ⊗_k K 〜 K[X]
X⊗a → aX

ベクトル空間と異なる大きく点は、0以外の零化元が存在する場合があることです。
なのでたとえば、

ℚ ⊗_ℤ ℤ/nℤ

の任意の元は、

a/b ⊗ m = an/bn ⊗ m = n(a/bn ⊗ m) = (a/bn ⊗ 0) = 0

となります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569284478/546

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