[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

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971: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 10:39:54.60 ID:X/c9sPkS >>970 ＞まぁ、そのあたりは主観によりますね。 ＞現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。 ＞主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。 ID:mJ2TyGNrさん、どうもスレ主です。 レスありがとう 確かに同意ですが １） 昔々、数学は、「代数」と「解析」と「幾何」とに三分されていた ２） その中で、「代数」ってのは、式の計算と方程式の解法、あるいは数論（整数論など）が、メインテーマだった ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった その中で、デデキント先生などが活躍された ３） もう一つの流れが「解析」で、ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ ４） カントールの無限の扱いに起因して、無限のパラドックスが19世紀の終りから、20世紀の初めに強く意識された ヒルベルトが、「集合論で公理化して、”有限”個の公理の組み合わせと”一階述語論理”で、全ての数学がカバーできて、完全・無矛盾になればいい」と考えた ヒルベルトの夢は、ゲーデルの不完全性定理で打ち砕かれたけれど 基礎論の公理化の研究で、結構病的な、あるいは荒唐無稽と思われていたことが、 「公理的には、そういうのもあり」となってきた（例 ロビンソンのノンスタンダード解析の考えなど） 望月先生のIUTなども、その流れかも（”それもあり”か”それはだめ”かが、未決着ですが（＾＾ ） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/971

972: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 10:40:14.23 ID:X/c9sPkS >>971 つづき ５） 「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され 後の「代数幾何」の基礎になった （「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ ） 「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい ６） それらが、どんどん発展して、グロタンディーク的手法も使って、 数論の「フェルマー予想」が解かれたそうだ ここ「フェルマー予想」解決にも、ガロア理論の影があります ６） なので、これが現代数学の全て、ではないが、 古典ガロア理論くらい知っておいて損はないと思う https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99 グロタンディーク宇宙 (抜粋) 宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/972

974: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 13:15:49.88 ID:et14HmJl おっちゃんです。 >>971 >( 2)の ) ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった 正則行列による群の表現や群の表現論などの(代数的)表現論の歴史を語ることはかなり難しくなっているが、少なくともここは >( 2）の) ガロアの群の概念が広まって、どんどん代数が抽象化されていった の方がいい。 >3） >もう一つの流れが「解析」で、(熱伝導方程式に関するその方程式を解くことなどのフーリエの研究から生まれたフーリエ級数 >の収束の問題から生じた)ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た >デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです >で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ ここのデデキントはリーマンの友人でもあった。また、補足して読んだように、多くの解析の分野は物理に基づく問題から生じている。 もしかしたら、複素解析も歴史的にはニュートン力学の運動方程式に基づくといえるかも知れない。 スレ主は解析の歴史を語る上で物理に一切触れていないため、そこは全くのデタラメだな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/974

976: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 15:53:29.16 ID:X/c9sPkS >>971 追加 ガロアと名の付く数学用語一覧 （これだけで全部じゃないと思うが）（＾＾ なお、ガロアと名はつかないが、ガロアの後、抽象的な群論が活発に研究された なので、古典ガロア理論を学べば、必然群論も体論も、おそらくは環や、その他もろもろの代数系の学習の助けになるだろう（＾＾； https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_field_theory Glossary of field theory (抜粋) Types of fields Finite field A field with finitely many elements. Aka Galois field. Frobenius field A pseudo algebraically closed field whose absolute Galois group has the embedding property.[8] Field extensions Galois extension A normal, separable field extension. Galois theory Galois extension A normal, separable field extension. Galois group The automorphism group of a Galois extension. When it is a finite extension, this is a finite group of order equal to the degree of the extension. Galois groups for infinite extensions are profinite groups. Kummer theory The Galois theory of taking n-th roots, given enough roots of unity. It includes the general theory of quadratic extensions. Normal basis A basis in the vector space sense of L over K, on which the Galois group of L over K acts transitively. Extensions of Galois theory Inverse problem of Galois theory Given a group G, find an extension of the rational number or other field with G as Galois group. Differential Galois theory The subject in which symmetry groups of differential equations are studied along the lines traditional in Galois theory. This is actually an old idea, and one of the motivations when Sophus Lie founded the theory of Lie groups. It has not, probably, reached definitive form. Grothendieck's Galois theory A very abstract approach from algebraic geometry, introduced to study the analogue of the fundamental group. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/976

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