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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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94: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:24:06.64 ID:nJx1ApW/ >>93 つづき 正則性公理 反復的集合観に先立って次の整礎原理を述べた。 整礎原理 a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。 これを次のように公理化する。 正則性公理（定義） ∀s(s≠Φ→∃x∈s(x∩s=Φ)) (反復的集合観によれば、sに含まれるどの要素もsが現れる段階よりも低い段階で現れる。 sの要素の中で最も低い段階に現れるものをxとすれば、xとsが共通要素を持つことはない。 もしあればそれはxよりも低い段階に現れるsの要素になりxの取り方に反するので) ただし正則性公理を追加したからといって、x1∋x2∋x3∋x4∋…となる集合や自分自身を含む集合の存在が証明されないことを保証しているわけではない (ある公理から何かの存在が導かれるときに非存在を主張する公理を追加しても、存在するという証明を打ち消すことはできない。 単に矛盾が導かれるようになるだけ)。 元の公理系が「自分自身を含む集合はあってもいいし、なくてもいい」というものだとしたら、正則性公理の追加によって自分自身を含む集合の存在は排除される。 でも元の公理系で自分自身を含む集合の存在が導かれるとしたら、そこに正則性公理を追加しても矛盾が導かれるようになるだけ。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/94
95: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:24:41.66 ID:nJx1ApW/ >>94 つづき 7. ZFC ここまで出てきた公理を列挙すると次のようになる。 8. クラス ZFCでは内包公理は認められない。 しかし、ある概念(を定義した述語)P(x)があるならばそれに対応する集合{x|P(x)}について語るというのは数学でごく普通におこなわれることなので、集合論でもそのような言い方を使いたい。 そのために{x|P(x)}の形の式を集合とは呼ばずにクラスと呼ぶことにする。 クラスは集合論のファーストクラスオブジェクトではなく、構文上のマクロのようなものにすぎない。 集合論の基本的な述語は「=」と「∈」の二つ クラス用の変数も導入できるのだけど、これも集合論の体系自体には含まれない一種の省略記法として扱われる。 9. 到達不能基数 置換公理によって「果てしなく続く段階」や濃度の非常に大きな集合の存在が出てくるのだけど、さらに「その先」を考えることもできる。 濃度(無限の大きさ)について考える。 （以下は、あんまり関係ないが（本当は正則性公理「sの要素の中で最も低い段階に現れるもの」の関連で調べた）、メモ貼る） https://en.wikipedia.org/wiki/Upper_set Upper set (抜粋) In mathematics, an upper set (also called an upward closed set or an upset) of a partially ordered set (X, ?) is a subset U of X such that if x is in U and x ? y, then y is in U. The dual notion is a lower set (also called a downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, or semi-ideal), which is a subset L of X such that that if x is in L and y ? x, then y is in L (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/95
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