[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

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918: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 10:15:30.80 ID:CX/otP+s >>903 追加 下記元吉文男で、 既約な二項方程式x^5-a＝0のガロア群は、C_{5} 巡回群 (位数 5)です B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)では、ありません http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf [PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - 1993 RIMS, Kyoto University (抜粋) 有理数係数の 5 次の既約多項式が可解であるかどうかを、 (大部分の場合に) 有理数演 算だけで高速に判定する方法を紹介する。 1. ガロア群の計算原理 5 次の推移群は以下の 5 種類である。 ・S_{5} 対称群 (位数 120) ・A_{5} 交代群 (位数 60) ・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20) ・B_{5} 半メタ巡回群 (位数 10) ・C_{5} 巡回群 (位数 5) ここで可解なものは、B_{5}',B_{5},C_{5} であり、 B_{5}’⊂ B_{5}⊂ C_{5} という関係にある。 そこで、方程式が可解かどうかはそのガロア群が B_{5}’ に含まれているかどうかを調べればよい。 参考文献 [1] エム・ポストニコフ、「ガロアの理論」、東京図書、 1964。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/918

938: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 >>918 aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。 分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3. ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。 つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる （分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが 最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。 わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。 なので、Mara Papiyas氏の挙げた2項方程式は まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/938

961: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/18(金) 07:18:10.93 ID:Zm+yHrIo >>918 >・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20) 追加参考 （後の”Metacyclic Group Wolfram MathWorld”の方が、綺麗に纏まっているが、書きぶりがちょっと違う） https://en.wikipedia.org/wiki/Metacyclic_group Metacyclic group (抜粋) In group theory, a metacyclic group is an extension of a cyclic group by a cyclic group. That is, it is a group G for which there is a short exact sequence 1 → K → G → H → 1 where H and K are cyclic. Equivalently, a metacyclic group is a group G having a cyclic normal subgroup N, such that the quotient G/N is also cyclic. Properties Metacyclic groups are both supersolvable and metabelian. Examples ・Any cyclic group is metacyclic. ・The direct product or semidirect product of two cyclic groups is metacyclic. These include the dihedral groups and the quasidihedral groups. ・The dicyclic groups are metacyclic. (Note that a dicyclic group is not necessarily a semidirect product of two cyclic groups.) ・Every finite group of squarefree order is metacyclic. ・More generally every Z-group is metacyclic. A Z-group is a group whose Sylow subgroups are cyclic. http://mathworld.wolfram.com/MetacyclicGroup.html Metacyclic Group Wolfram MathWorld http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/961

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