現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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911: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/17(木) 07:09:38.23 ID:khSgay+Z

>>904
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾

(引用開始)
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
>　>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない

x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。
(引用終り)

この話は、基礎体をQとして、Qに必要なベキ根を添加した体をQ’として
ベキ根を添加した体Q’をベースに、方程式のガロア群を考えるのが、ベキ根拡大の基本です
詳しくは、下記を
繰返すが、下記「クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である」をいうためには、
「K が 1 の原始 n 乗根を含む拡大体 K(α)」が必須ってことです

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根
(抜粋)
目次
4 冪根拡大

冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n - a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。
クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/911

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