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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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844: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/15(火) 10:40:11.58 ID:GY+TtPJn >>839 補足 いま議論している部分は、”べき根拡大”というやつね 下記が、参考になるだろう はてなblog（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） ガロア理論のメモ（その６）：べき根拡大と可解群 めもめも ※ 2017/09/27 (抜粋) 本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。 これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。 補題6.2 略 この補題を基にして、べき根拡大と可解群の関係が得られる。多項式の解がべき根を用いて表現できるかどうかを判定する、ガロア理論の根幹の1つとなる。 定理6.1 ―――――――――― 多項式 f(X)=X^n?a∈F[X] の分解体を E とする時、Aut(E/F) は可解群となる。このような拡大をべき根拡大とよぶ。 略 補題6.2より、Aut(F(ω)/F) はアーベル群なので、これで定理が証明された。 ―――――――――― 文献によっては、X^n?a の根の1つのみを加えた拡大をべき根拡大と定義している場合もあるが、ここではすべての根を加えた分解体として定義している点に注意。 これにより、以降の各種定理の証明が少し簡単になる。 （根の1つのみを加えた定義の場合は、証明の中で、すべての根を加えた体まで拡張して議論する必要がある。） 例 ―――――――――― 定理6.1で存在が保証される α は、一意ではない点に注意する。 たとえば、f(X)=X^3?2∈Q[X] の根は、ω を1の原始3乗根として、{3√2,3√2ω,3√2ω^2} であり、α=3√2 とすると、分解体は、E=Q(3√2,ω) となる。 一方、α=3√2ω として、E=Q(3√2ω,ω) としても結果は同じである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/844
847: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/15(火) 13:24:46.16 ID:GY+TtPJn >>833-835 >ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため >そう設定してるってだけです。 ID:yDLeEzQX さん、ID:ceRjWFfMさん、ID:OSBV4wpgさん みなさんレベル高いね 全く、ご指摘の通り ”ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため”です ガロアの論文に書いてある通りです （ガロア理論のあらすじは、>>844辺りに書いてありますね） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/847
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