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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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818: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/14(月) 17:41:02.29 ID:w6tqRMw5 >>815 めんどくさいやつだな そうあせるな（＾＾ Q1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする このときのガロア群G(E/Q)は？ A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ （こう仮定してもガロア理論には十分だから） 位数p-1の巡回群 因みに、１のｎ乗根 ωp=ｎ√1 (1の原始根)として Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい） （なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい） Q2. Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする このときのガロア群G(L/K)は？ A2. 同様にn=p(素数)とするよ。そして、ｎ乗根 n√a は無理数とする このとき、ガロア群G(L/K)は位数pの巡回群になる 因みに、LはKummer拡大と呼ばれる （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96 クンマー理論 (抜粋) クンマー拡大 一般的に、K が n 個の異なる 単元の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大を生成する。 多項式 X^n ? a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。 n√a を通してガロア作用を追いかけることは容易である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/818
819: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/14(月) 17:57:01.08 ID:w6tqRMw5 >>818 ガウス、アーベル、ガロアについては、下記の高瀬正仁先生ご参照 http（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） 日々のつれづれ （ガウス32）アーベル方程式とガロアの第一論文 Author:オイラー研究所の所長 高瀬正仁 2008-04-26 (抜粋) 代数的可解性を左右する根源的な要因は「諸根の相互依存関係」にあります。この認識はガロアもまた共有し、代数方程式の代数的可解性をテーマにした第一論文 「方程式が冪根を用いて解けるための条件について」 において、 《冪根を用いて解ける方程式のどれもが満たし、しかも逆に、その可解性を保証するひとつの一般条件》 をみいだすことに成功しました。この条件は「方程式の根の配列の群」の言葉で記述されています（ただし、この「群」という言葉は「ものの集まり」というほどの意味にすぎず、今日の群の概念とは無関係です）。 第一論文からここまでの部分を抽出して精密に展開すれば、今日のいわゆるガロア理論が手に入ります。 他方、ガウスが円周等分方程式を解いていく道筋を忠実に再現すれば、そのままガロア理論が出現するという事実もまた注目に値します。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/819
821: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/14(月) 18:01:20.56 ID:llLaGKvq >>818 ん、なんかおかしなこといってるね ＞面倒なのでn=p(素数)とするよ そんな仮定するほうが面倒だろｗ ＞位数p-1の巡回群 巡回群だといいたいためにｐの条件を持ち出したんなら馬鹿 正しい答えは 乗法群(Z/nZ)× (位数n-1) 覚えとけ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/821
824: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/14(月) 18:51:56.20 ID:llLaGKvq >>818 じゃ>>815の続きだ Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする このときのガロア群G(K/Q)は? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/824
838: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/15(火) 07:18:50.26 ID:9ROe+Kvi >>829 (>>836) ID:ceRjWFfMさん、レスありがとう (引用開始) >正しい答えは >乗法群(Z/nZ)× (位数n-1) 乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。 (引用終り) ご指摘の通りです （>>818の訂正版） Q1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする このときのガロア群G(E/Q)は？ A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ （こう仮定してもガロア理論には十分だから） 位数pの巡回群 因みに、１のｎ乗根 ωp=p√1 (1の原始根)として Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい） （なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい） (終り) なお、1のn乗根を添加した拡大体の解説は、下記に詳しい 因みに、最小多項式を考えると、x^n-1=0の”x^n-1”は可約で、因子x-1を持つので、因数分解できて、一般に次数が必ず１下がる n=p(素数)のとき、最小多項式の次数はp-1です （おれも、あんまり分かってないね（＾＾； ） http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8 ガロア理論入門 物理のがきしっぽ http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/ １のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ (抜粋) 1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります． ここに出てきたφを オイラーのファイ関数 と呼びます．ファイ関数を使うと， |G(E/Q)|=[Q(ζ):Q] <=φ(n) と書くことが出来ます．また，次の定理も重要です． x^n-1=0 の解 ζ の最小多項式は (x-ζ)(x-ζ^k1)・・・(x-ζ^ks) の形に書けることが要請されます． 添字の ki は， (n,ki)=1 を満たす 1 < k < n だけを取るものとします． この最小多項式を 円周等分方程式 と呼びます． 円周等分方程式の解は，複素平面上で単位円の円周を等分点に当たりますから，この名前の意味は非常に明快だと思います． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/838
861: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/15(火) 22:34:59.55 ID:9ROe+Kvi >>838 そうか （>>818の訂正版） と訂正書いたけど、 最初の>>818で合っていたんだね 1のn乗根を添加の話 理解不十分で、記憶だけで書くから、だめなんだな しっかり理解しておかないとね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/861
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