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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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815: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/14(月) 16:51:08.23 ID:llLaGKvq 感傷に浸ってる耄碌爺に質問だｗ 1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする このときのガロア群G(E/Q)は？ 2. Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする このときのガロア群G(L/K)は？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/815
818: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/14(月) 17:41:02.29 ID:w6tqRMw5 >>815 めんどくさいやつだな そうあせるな（＾＾ Q1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする このときのガロア群G(E/Q)は？ A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ （こう仮定してもガロア理論には十分だから） 位数p-1の巡回群 因みに、１のｎ乗根 ωp=ｎ√1 (1の原始根)として Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい） （なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい） Q2. Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする このときのガロア群G(L/K)は？ A2. 同様にn=p(素数)とするよ。そして、ｎ乗根 n√a は無理数とする このとき、ガロア群G(L/K)は位数pの巡回群になる 因みに、LはKummer拡大と呼ばれる （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96 クンマー理論 (抜粋) クンマー拡大 一般的に、K が n 個の異なる 単元の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大を生成する。 多項式 X^n ? a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。 n√a を通してガロア作用を追いかけることは容易である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/818
824: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/14(月) 18:51:56.20 ID:llLaGKvq >>818 じゃ>>815の続きだ Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする このときのガロア群G(K/Q)は? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/824
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