現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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768: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 22:24:15.43 ID:2o5RsZjT

>>765
>これ、なんで部分群の列じゃダメなの？

それは、”ガロア対応”って話なんだけど、その前に、もう少し、
共役変換σ-1・Ｈ・σを語ると

・一応、話を有限群論に限って
　HがGの部分群として、σはH以外の元とする
　σ-1・Ｈ・σは、また、群になるのです
・(略証)
　１）単位元の存在、単位元e∈Hに対し、
　　σ-1・e・σ＝σ-1・σ＝e∈σ-1・Ｈ・σ
　２）逆元の存在、元h∈Hに対し、逆元が存在してh^-1∈Hなので
　　(σ-1・h・σ)・(σ-1・h^-1・σ)＝　(σ-1・h)・(σ・σ-1)・(h^-1・σ)＝(σ-1・h)・(h^-1・σ)＝e
　　なので、逆元の存在σ-1・h^-1・σ∈σ-1・Ｈ・σ
　　が示された
・ガロアが、シュバリエへの手紙で、「固有分解」などと書いているが
　正規部分群N では、σ-1・N・σ＝N （これは定義でもある）
　(略証)
　例えば、二つの元 n1,n2∈Nとして
　(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝(σ-1・n1)・(σ・σ-1)・(n2・σ)＝σ-1・(n1・n2)・σ
　ここで、e＝σ・σ-1を真ん中に挟むと
　σ-1・(n1・n2)・σ＝σ-1・(n1・σ・σ-1・n2)・σ＝(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)
　ここで、σ-1・N・σ＝Nだったから、σ-1・n1・σ＝n1'∈N、σ-1・n2・σ＝n2'∈N なる、元n1'、n2'がN中に存在する
　なので、(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝n1'・n2'∈N が、定義「σ-1・N・σ＝N」から導かれるのです
・σ-1・N・σ＝N→左からσを作用させると σ・σ-1・N・σ＝σ・N→”N・σ＝σ・N”が成立します
・これが、共役変換σ-1・Ｈ・σの意味です

（参考）
https://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/
2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる）バード6787さん
(抜粋)
　Ｇの夢より http://galois.motion.ne.jp/index.html

Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。

群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
　　Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
　　Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
　この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/768

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