現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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755: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:15:54.73 ID:nHmzRvjt

>>718
>正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
>みなさんに、教えて頂きました
>ありがとう（＾＾

変換σ-1・Ｈ・σは、共役変換というんだけど（＾＾
下記の共役類wikipediaに詳しい
（（編集されて変わることがあるので）スナップショットとして抜粋コピペするけど文字化けご容赦。原文リンク見た方が良いだろう）
元で書くと、σ-1・ｈ・σだけど、積演算（・）が可換（アーベル）だと、
σ-1・ｈ・σ＝σ-1・σ・ｈ＝ｈなので
高校数学の範囲では可換ばかりだから、”何が、そんなにうれしいのか！？”となるのよｗ（＾＾
大学数学で非可換を勉強すると分かる。群論を、これからやる人、いまやっている人は、”共役”を理解しておくといい

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E
共役類
(抜粋)
とくに群論において、任意の群は共役類（きょうやくるい、英: conjugacy class）に分割できる。同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする[1][2][要ページ番号]。

定義
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役 (きょうやく、conjugate) であるとは、G の元 g が存在して

b = g^-1ag
を満たすことである[注釈 1]。ここで元 g^-1ag を ag のように表すこともある[3]。

共役性は同値関係であり、したがって G を同値類に分割する[注釈 2]ことが直ちに示せる。G の元 a を含む同値類

aG = { ag | g ∈ G }
は a の共役類 (conjugacy class) と呼ばれる[4]。群 G の共役類が C1, …, Ch であるとき数 k(G) := h を類数[訳語疑問点] (class number) と呼ぶ[4]。

一般に、対称群 Sn の共役類の数は n の分割の数に等しい。これは各共役類が、 {1, 2, ..., n} の元の並び替えを除いて、{1, 2, ..., n} のちょうど 1 つの分割を巡回置換（英語版）の集まりと見做したものに対応するからである。

立方体の（自明でない）回転（英語版）は、（面ではなく立体としての）対角線に関する置換として特徴づけることができるが、これも共役変換として記述することができる。

ユークリッドの運動群はユークリッド空間における対称性の共軛変換（英語版）によって調べられる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/755

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