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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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66: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:12:31.56 ID:cMDg8k3q >>55 追加 分かりました、分かりました（＾＾ 要するに、正則性公理→フォン・ノイマン宇宙やね そして、我々が通常学部数学扱う集合は、フォン・ノイマン宇宙内 フォン・ノイマン宇宙内は、「遺伝的整礎集合全体のクラス」 で、モストフスキ崩壊補題（>>37）「ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である」 なので、普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな（＾＾ なお「正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。 しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。 このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。」 （フォン・ノイマン宇宙 ja.wikipediaより） ってことね（「非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていない」） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。 定義 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。 クラスWFはこれらを全て集めたものとして定義され、後に示すように、WFは全てのwell-founded集合からなる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/66
67: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:13:20.22 ID:cMDg8k3q >>66 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99 フォン・ノイマン宇宙 (抜粋) フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。 整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。 Vと集合論 ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。 K が到達不能基数ならば、VKはZFCのモデルである。そして、VK+1はモース-ケリー集合論のモデルである。 V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。 各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。 正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。 しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。 このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。 関連項目 宇宙 (数学) 構成可能集合 グロタンディーク宇宙 到達不能基数 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/67
68: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:17:27.61 ID:cMDg8k3q >>64 >一般の集合 ⊃ 推移的集合 ⊃ 順序数 （>>66より） 「正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。 しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。 このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。」 （フォン・ノイマン宇宙 ja.wikipediaより） なので、普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな（＾＾ (引用終り) ってことね おサルはえらいね 三歳児なのに 非整礎集合の集合論を考えていたのか ＺＦＣの外ね おサルはえらいね〜ｗ（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/68
77: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/12(木) 19:30:21.01 ID:0bjYSisu >>66 >普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな これはヒドイｗ >>68 >非整礎集合の集合論を考えていたのか これもヒドイｗ {{{}}}(順序数どころか推移的集合でもない) のどこが非整礎集合かよｗｗｗｗｗｗｗ 「整礎集合」＝「推移的集合」 と思ってる時点でアホ 定義の日本語の文章も読めないらしい 「集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、 ∈ が x の推移閉包上で整礎関係となること」 「ｘ上で」ではなく「ｘの推移閉包上で」に注意 {{{}}}の推移閉包は{{},{{}}} 要するに一般のｘ上で∈ は推移的でないから ｘを含む最小の推移的集合（これが推移閉包） を考える必要がある そもそもベン図で描けるかどうかと ∈が推移的かどうかは全然無関係 ベン図は要素（対象）と集合（性質）を明確に分けてしまう点で、 集合論を扱うツールとしては限定的な役割しかない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/77
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