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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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421: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/22(日) 07:37:05.32 ID:dCfcIyTY >>418 (引用開始) したがって、Z/4Z ＼ 0 は乗法について閉じていない。 このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F4 は存在するにも関わらず、である）。 (引用終り) 位数 4 の有限体 F4について（＾＾ 「要は1の原始3乗根を添加した体がF4である」か 複素数まで考えないといけないんだ（＾＾； http://br-h2gk.hatenabloｇ.com/entry/finite_field_02 数学とその他の日々 有限体F_2,F_4,F_8,F_16の構造決定 2015-12-17 (抜粋) F4について 3つのアプローチがある。 1つ目としては、x^4?x=x(x?1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、 x^2+x+1のF2上の分解体になり、 その根 ω∈F￣2、 要は1の原始3乗根を添加した体がF4である。 したがって、F4={0,1,ω,ω2}となる。 ωの演算についてはQ上のそれとは異なるが、 考え方は一緒で、ほとんど符号を無視するだけなので省略する。 もしくは、商をとる順番を換える典型的な方法によって F2[x]/(x^2+x+1)=~ Z[x]/(2,x^2+x+1)=~ Z[ω]/(2) と捉えてもよい。 ここでいう右端のωは通常のω∈Cの意味である。 このx^2+x+1という既約多項式を見つけるには 他に2つの考え方があり、 1つはフェルマーの小定理からF2の元は常にx^2+x=0なので、 x^2+x+1はF2上の根を持たず、既約であるというもの。 もう1つは、標数2の体上の2次拡大だから、アルティン＝シュライヤー拡大で、 x^2?x?aの形で根を添加すればよい、ということだが、 a=0は明らかに駄目だからx^2?x?1=x^2+x+1が求まる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/421
422: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/22(日) 07:40:10.09 ID:dCfcIyTY >>421 文字化け 1つ目としては、x^4?x=x(x?1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、 ↓ 1つ目としては、x^4-x=x(x-1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、 などね。wikipediaからのコピペでもよくおきるが ?の部分が-なんだ まあ、原文見てください（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/422
423: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/22(日) 07:48:02.13 ID:dCfcIyTY >>421 参考追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96 アルティン・シュライアー理論 (抜粋) 数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin?Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。 目次 1 アルティン・シュライアー拡大 2 アルティン・シュライアー理論 3 歴史的コメント アルティン・シュライアー拡大 K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 X^p - X + a の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。 b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から p - 1 までの i に対して b + i がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。 略 アルティン・シュライアー理論 アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。 略 歴史的コメント アルティン・シュライアー型の多項式は1866年に出版された Joseph-Alfred Serret（フランス語版） の Cours d'algebre superieure の第三版の有限体についての章において既に見つかる[2]。 セレは整数 g が素数 p で割れなければ多項式 X^p - X + a は mod p で既約であること、現代的な言葉で言えば、すべての g ∈ Fp* に対して X^p - X - g は既約であること、を証明している[3]。 （注：このセレは1866年の人な（＾＾） この結果は上のことから標数 p の体を Fp として証明できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/423
430: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/22(日) 08:17:56.92 ID:adVjb7k7 >>421-423 1は集合論から話をそらそうと必死ｗｗｗｗｗｗｗ F4はZ/4Zとは加法、乗法が異なる 加法、乗法の表を書いてごらん 馬鹿でもわからざるを得ないからｗｗｗ アルティン・シュライヤーとかほざくのはそれからだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/430
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