[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

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337: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/19(木) 07:51:39.39 ID:MSw7Rbq1 "∈による順序"について、分り易い説明を思いついたので書いてみるよ（＾＾ １）まず、>>310の追加補足 (おサル >>275より） ０＝{} １＝｛０｝={{}} ２＝｛１｝＝{{{}}} ・・・ ってやり方だと、0∈1∈2だけど、0∈2にならないんだよね ０＝{} １＝｛０｝={{}} ２＝｛０，１｝＝{{},{{}}} ・・・ だと、0∈1∈2で、しかも0∈2にできるんだな (引用終り) 確かに、下記の記述があり、単純な自然数の構成も可能だ しかし、∈による順序付けには、大きな差があるように見える これをどう考えたら良いのだろうか？（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 0 := {} 1 := suc(0) = {0} = {{}} 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} } 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } 等々である。 このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。 また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n <= m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/337

338: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/19(木) 07:52:36.81 ID:MSw7Rbq1 >>337 つづき ２）さて、下記のように考えてみよう （参考） https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/ 数学基礎論サマースクール 選択公理と連続体仮説 https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf 公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール (抜粋) P3 公理的集合論の枠組み ・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ 　遺伝的集合の集まりとそれら間の要素関係（∈-関係） 　● 遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合 　　例： Φ，{Φ}，{Φ, {Φ, {Φ}}} (引用終り) 上記神戸大酒井拓史先生の遺伝的というのが、空集合から初めて、冪集合を順々につくってもの 即ち、下記の二項関係の「先祖である」と同じと解してみよう Φ∈{Φ}∈{Φ, {Φ}}∈{Φ, {Φ, {Φ}}}なのだが Φが元で{Φ}を作って、{Φ}が元で{Φ, {Φ}}・・となる さて、このような二項関係を示す記号を、∈Rと書こう 上記二項関係の”∈R”には、∈と類似のしかし、少しだけ異なる定義を与える 　１）A∈Bのとき、二項関係 A ∈R B が成立っているとする 　２）さらに、A∈B∈Cのとき、二項関係 A ∈R B とB ∈R C のみならず、A ∈R Cも成立っているとする（推移律） 　　くどいが、間にBを挟んだ間接的な場合にも、A ∈R Cも成立っているとする 　３）∈と二項関係の”∈R”との違いについて説明すると、 　　∈は公理的集合論の集合を構成するカナメの記号だが 　　”∈R”は、出来上がった集合の二項関係を示すためだけの機能に限定するものとする（集合を構成する力はない） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82 二項関係 (抜粋) 集合上の関係 集合 X 上の二項関係のいくつか重要なクラスとして、以下のようなものを挙げることができる： ・推移的 (transitive) X の各元 x, y, z について、xRy かつ yRz ならば xRz となるとき、関係 R は推移的であるという。 「先祖である」という関係は推移的である。実際、x が y の先祖で、y が z の先祖ならば、x は z の先祖である。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/338

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